Seja um sistema de comunicação utilizando modulação DSB +C , para transmitir um sinal m(t), com largura de banda B.
( 1,0 pontos) Determine o diagrama de blocos de um receptor utilizando o detector coerente. Encontre todas as equações, no domínio do tempo, ao longo do seu sistema.

Passo 1

O enunciado pede que eu desenhe (descreva) o diagrama de blocos de um receptor que demodule um sinal DSB+C usando detector coerente e que eu escreva todas as equações no domínio do tempo ao longo do receptor. Informações dadas e hipóteses que vou usar (tudo que o enunciado fornece ou que é padrão nesse tipo de questão):
  • O sinal mensagem é m(t) com largura de banda B.
  • A modulação é DSB + C (ou seja, AM com portadora preservada).
  • O receptor é do tipo coerente (usa oscilador local com fase/ frequência referência).
  • Assumo, inicialmente, canal ideal com ruído aditivo n(t); depois escrevo a forma mais geral com atenuação e defasagem de canal.
  • Objetivo final: obter o diagrama de blocos (descrito em sequência de blocos) e todas as equações em tempo contínuo em cada ponto do sistema.

Passo 2

Definição do sinal transmitido (escolha de notação e normalização). Vou escrever a forma usual de AM com índice de modulação \mu e amplitude de portadora A_c:
s(t)=A_c\bigl[1+\mu\,m(t)\bigr]\cos(\omega_c t).
Explicações didáticas:
  • A_c é a amplitude da portadora (constante).
  • \mu é o índice de modulação (geralmente 0\le\mu\le 1 para evitar distorção por sobre-modulação).
  • m(t) é a mensagem normalizada para que |m(t)|\le 1 (isso facilita interpretar \mu).
  • \omega_c é a frequência angular da portadora.
    Esta é a forma padrão de DSB+C: a portadora está presente e os produtos \mu m(t) geram as bandas lateral.

Passo 3

Modelo do canal / sinal recebido (caso simples e caso geral).
  • Caso simples (canal ideal com ruído aditivo):
r(t)=s(t)+n(t)=A_c\bigl[1+\mu\,m(t)\bigr]\cos(\omega_c t)+n(t),
onde n(t) é ruído aditivo (por ex. AWGN).
  • Caso mais geral (atenuação e atraso/defasagem de canal): o canal pode introduzir ganho e fase \theta; então
r(t)=A_r\bigl[1+\mu\,m(t)\bigr]\cos\bigl(\omega_c t+\theta\bigr)+n(t),
onde A_r é a amplitude resultante após o canal e \theta é a defasagem introduzida.

Passo 4

Oscilador local (referência do detector coerente) e o primeiro bloco do receptor: o misturador (multiplicador).
  • O oscilador local gera
v_{LO}(t)=2\cos\bigl(\omega_c t+\varphi\bigr),
onde o fator 2 é apenas conveniência algebraica para simplificar identidades trigonométricas posteriores; \varphi é a fase do LO (deve ser sincronizada com a do sinal recebido).
  • O misturador multiplica r(t) por v_{LO}(t). A saída do multiplicador é
y(t)=r(t)\cdot v_{LO}(t).

Passo 5

Desenvolvimento algébrico do produto no misturador (caso geral com A_r e \theta). Substituindo r(t) e v_{LO}(t):
y(t)=\bigl[A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(\omega_c t+\theta)+n(t)\bigr]\cdot 2\cos(\omega_c t+\varphi).
Agora uso a identidade trigonométrica \cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr] para separar termos de baixa e alta frequência. Primeiro o produto da parte útil:
2A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(\omega_c t+\theta)\cos(\omega_c t+\varphi) = A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\bigl[\cos(\theta-\varphi)+\cos(2\omega_c t+\theta+\varphi)\bigr].
O termo com ruído fica
2n(t)\cos(\omega_c t+\varphi).
Portanto a saída completa do misturador é
y(t)=A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(\theta-\varphi)+A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(2\omega_c t+\theta+\varphi)+2n(t)\cos(\omega_c t+\varphi).

Passo 6

Aplicação do filtro passa-baixa (LPF) após o misturador — objetivo: remover as componentes de alta frequência (em torno de 2\omega_c e \omega_c).
  • O LPF tem largura de passagem pelo menos B (suficiente para passar m(t)) e deve atenuar fortemente componentes em torno de \omega_c e 2\omega_c.
  • O LPF elimina os termos de alta frequência \cos(2\omega_c t+\theta+\varphi) e as componentes de n(t) deslocadas para alta frequência, mas deixa a componente de baixa frequência resultante da mistura do sinal com o LO. Após o LPF, chamo a saída de v_{LP}(t):
v_{LP}(t)=\text{LPF}\{y(t)\}=A_r\cos(\theta-\varphi)+A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t),
onde
n_d(t)=\text{LPF}\{2n(t)\cos(\omega_c t+\varphi)\}
é o ruído baseband resultante do processo de mistura e filtragem (ou seja, o ruído original deslocado para base e filtrado).
Explicação didática:
  • O primeiro termo A_r\cos(\theta-\varphi) é um termo DC (constante) resultante da portadora multiplicada pelo LO; ele aparece porque temos DSB+C.
  • O segundo termo A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t) é a mensagem escalada — é o que queremos recuperar.
  • O terceiro termo n_d(t) é o ruído baseband que permanece após a mistura e o LPF.

Passo 7

Remoção do termo DC e ajuste de ganho (blocos seguintes típicos).
  • Como temos DSB+C, após o LPF haverá um termo DC A_r\cos(\theta-\varphi). Para recuperar apenas m(t) usamos um filtro passa-altas (AC-coupling) ou bloco que remove o DC. Após remoção do DC obtemos
v_{AC}(t)=A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t).
  • Em seguida, pode haver um estágio de ganho/normalização (AGC ou multiplicador por 1/[A_r\mu\cos(\theta-\varphi)], se esse fator for conhecido ou estimado) para produzir uma estimativa \hat m(t) da mensagem:
\hat m(t)=\frac{v_{AC}(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}=m(t)+\frac{n_d(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}.
Essa expressão mostra que:
  • Se o receptor estiver perfeitamente sincronizado em fase, isto é, \varphi=\theta, então \cos(\theta-\varphi)=1 e o ganho de restituição é simplesmente A_r\mu.
  • Se houver erro de fase \Delta\varphi=\theta-\varphi, a recuperação do sinal sofre atenuação pelo fator \cos(\Delta\varphi).
  • Se \Delta\varphi=\pm\pi/2 então \cos(\Delta\varphi)=0 e o detector coerente falha (não recupera m(t)): essa é a razão pela qual sincronização de fase é mandatória em detector coerente.

Passo 8

Comentário prático sobre sincronização e filtros de banda.
  • Para que o LPF preserve corretamente m(t) sem distorção de banda, sua frequência de corte f_c^{LPF} deve satisfazer
f_c^{LPF}\ge B
e ser muito menor que f_c (a frequência da portadora) para atenuar componentes em \omega_c e 2\omega_c.
  • Em um receptor real usa-se um circuito de sincronização (PLL ou Costas loop) para ajustar \varphi de modo a minimizar |\theta-\varphi| e também circuitos AGC para ajustar amplitude A_r antes da demodulação ou compensar depois.
  • O termo de ruído após a divisão por A_r\mu\cos(\theta-\varphi) mostra a relação sinal-ruído do receptor: o ruído resultante fica escalado por 1/(A_r\mu\cos(\Delta\varphi)).

Passo 9

Descrição final do diagrama de blocos (sequência textual dos blocos e sinais entre eles).
  • Entrada: r(t).
  • Bloco 1: Misturador (multiplica por v_{LO}(t)=2\cos(\omega_c t+\varphi)) → saída y(t).
  • Bloco 2: LPF (corte \approx B) → saída v_{LP}(t).
  • Bloco 3: AC-coupling / remoção de DC → saída v_{AC}(t).
  • Bloco 4: Ganho/normalização (opcional, para obter amplitude correta) → saída \hat m(t).
    As equações em cada ponto são as que derivamos:
\begin{aligned} s(t)&=A_c\bigl[1+\mu m(t)\bigr]\cos(\omega_c t),\\\ r(t)&=A_r\bigl[1+\mu m(t)\bigr]\cos(\omega_c t+\theta)+n(t),\\\ v_{LO}(t)&=2\cos(\omega_c t+\varphi),\\\ y(t)&=2r(t)\cos(\omega_c t+\varphi) \\\ &=A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(\theta-\varphi)+A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(2\omega_c t+\theta+\varphi)+2n(t)\cos(\omega_c t+\varphi),\\\ v_{LP}(t)&=A_r\cos(\theta-\varphi)+A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t),\\\ v_{AC}(t)&=A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t),\\\ \hat m(t)&=\dfrac{v_{AC}(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}=m(t)+\dfrac{n_d(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}. \end{aligned}

Passo 10

Observações finais e condições de operação (resumindo o que é necessário para funcionar na prova):
  • A etapa crítica é a sincronização de fase entre portadora recebida e LO; em detector coerente precisamos que \varphi seja igual (ou muito próximo) de \theta para evitar atenuação ou inversão do sinal.
  • O LPF deve ter largura suficiente para passar a banda B da mensagem e bloquear componentes em \omega_c e 2\omega_c.
  • Se o receptor não souber A_r e \theta, usa-se AGC e PLL/Costas para estimar/compensar antes da etapa de ganho final.
  • Em provas, escrever todas as equações acima e explicar o papel de cada bloco é o que normalmente se pede para um detector coerente de DSB+C.

Resposta

s(t)=A_c\bigl[1+\mu m(t)\bigr]\cos(\omega_c t)\n
r(t)=A_r\bigl[1+\mu m(t)\bigr]\cos(\omega_c t+\theta)+n(t)\n
v_{LO}(t)=2\cos(\omega_c t+\varphi)\n
y(t)=2r(t)\cos(\omega_c t+\varphi)\n
y(t)=A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(\theta-\varphi)+A_r\bigl(1+\mu m(t)\bigr)\cos(2\omega_c t+\theta+\varphi)+2n(t)\cos(\omega_c t+\varphi)\n
v_{LP}(t)=A_r\cos(\theta-\varphi)+A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t)\n
v_{AC}(t)=A_r\mu\cos(\theta-\varphi)\,m(t)+n_d(t)\n
\displaystyle \hat m(t)=\frac{v_{AC}(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}=m(t)+\frac{n_d(t)}{A_r\mu\cos(\theta-\varphi)}

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