Seja o sistema de equações lineares:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\\\ 3 & -1 & -1 \\\\ 2 & 3 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 4 \\\\ 1\end{array}\right]
Sabe-se que, ao se resolver o sistema por decomposição LU com pivoteamento parcial, foram utilizadas sucessivamente, e nesta ordem, as seguintes permutações de linhas:
P_{1}=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] e P_{2}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]. Resultando nos seguintes fatores triangulares:
L=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\\\ 2 / 3 & 1 & 0 \\\\ 1 / 3 & 4 / 11 & 1\end{array}\right] \quad U=\left[\begin{array}{ccc}3 & -1 & -1 \\\\ 0 & 11 / 3 & 5 / 3 \\\\ 0 & 0 & 57 / 33\end{array}\right]
Sabendo L e U e as permutações utilizadas, determine a solução do sistema.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\[4pt] 3 & -1 & -1\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_{1}\\[2pt]x_{2}\\[2pt]x_{3}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}-1\\[2pt]4\\[2pt]1\end{bmatrix}
e informa que, ao fazer a decomposição LU com pivoteamento parcial, foram aplicadas sucessivamente as duas permutações de linhas
P_{1}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[2pt]1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{bmatrix} \quad\text{e}\quad P_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\\[2pt]0 & 1 & 0\end{bmatrix},
e obtiveram-se os fatores triangulares
L=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2/3 & 1 & 0\\[4pt]1/3 & 4/11 & 1\end{bmatrix}, \qquad U=\begin{bmatrix}3 & -1 & -1\\[4pt]0 & 11/3 & 5/3\\[4pt]0 & 0 & 57/33\end{bmatrix}.
A pergunta é: determine a solução do sistema, isto é, encontre \,x_1,x_2,x_3.]

Passo 2

Explicando o que vamos usar (sem pular etapas):
  • Quando se faz LU com pivoteamento parcial aplicando permutações de linha, o fator final de permutação é a multiplicação matricial das permutações aplicadas na ordem em que foram usadas. Chamando P essa permutação total, a decomposição dada satisfaz
P\,A = L\,U,
onde A é a matriz dos coeficientes e P é a matriz de permutação resultante. Multiplicando essa igualdade por x e usando A x=b, obtemos
L\,U\,x = P\,b.
  • Portanto, para resolver A x=b basta:
    1. calcular P\,b;
    2. resolver L\,y = P\,b por substituição para frente (pois L é triangular inferior com diagonal 1);
    3. resolver U\,x = y por substituição para trás (pois U é triangular superior).
      Vou seguir exatamente esses passos, mostrando cada conta.

Passo 3

Calculemos a permutação total P. Como as permutações foram aplicadas sucessivamente, a permutação total é
P = P_{2}\,P_{1}.
Multiplicando:
P_{1}=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[2pt]1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\end{bmatrix},\qquad P_{2}=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\\[2pt]0 & 1 & 0\end{bmatrix}.
Fazendo P=P_{2}P_{1} obtém-se (multiplicando linhas por colunas)
P=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[2pt]0 & 0 & 1\\[2pt]1 & 0 & 0\end{bmatrix}.
Essa matriz P rearranja um vetor \begin{bmatrix}v_{1}\v_{2}\v_{3}\end{bmatrix} como \begin{bmatrix}v_{2}\v_{3}\v_{1}\end{bmatrix}.
Agora aplicamos P ao vetor do lado direito b=\begin{bmatrix}-1\\[2pt]4\\[2pt]1\end{bmatrix}:
P\,b=\begin{bmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Vou chamar P\,b de vetor de termos independentes ajustado; nas próximas contas ele será o lado direito.]

Passo 4

Resolver L\,y = P\,b por substituição para frente.
Breve lembrete do método: se L é triangular inferior com 1’s na diagonal, as equações são
y_{1}= (\text{primeiro RHS}),\quad \text{em seguida }y_{2} = (\text{segundo RHS}) - (\text{coef. }L_{21})y_{1},\quad \text{e assim por diante.}
Aqui
L=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]2/3 & 1 & 0\\[4pt]1/3 & 4/11 & 1\end{bmatrix}, \qquad P\,b=\begin{bmatrix}4\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{bmatrix}.
Escrevendo as equações:
  • Primeira linha: 1\cdot y_{1}=4. Logo
y_{1}=4.
  • Segunda linha: \dfrac{2}{3}y_{1} + 1\cdot y_{2} = 1. Substituindo y_{1}=4:
y_{2}=1-\dfrac{2}{3}\cdot 4 = 1 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{3}{3}-\dfrac{8}{3} = -\dfrac{5}{3}.
  • Terceira linha: \dfrac{1}{3}y_{1} + \dfrac{4}{11}y_{2} + 1\cdot y_{3} = -1. Substituindo y_{1}=4 e y_{2}=-\dfrac{5}{3}:
y_{3} = -1 - \dfrac{1}{3}\cdot 4 - \dfrac{4}{11}\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right).
Calculemos passo a passo:
\dfrac{1}{3}\cdot 4 = \dfrac{4}{3},\qquad \dfrac{4}{11}\cdot\left(-\dfrac{5}{3}\right) = -\dfrac{20}{33}.
Então
y_{3} = -1 - \dfrac{4}{3} + \dfrac{20}{33}.
Colocando em denominador comum 33:
-1 = -\dfrac{33}{33},\quad -\dfrac{4}{3} = -\dfrac{44}{33},
portanto
y_{3} = -\dfrac{33}{33} - \dfrac{44}{33} + \dfrac{20}{33} = -\dfrac{57}{33} = -\dfrac{19}{11}.
Resumindo, o vetor y é
y=\begin{bmatrix}4\\[2pt]-\dfrac{5}{3}\\[2pt]-\dfrac{19}{11}\end{bmatrix}.]

Passo 5

Resolver U\,x = y por substituição para trás.
Explicando o método: em uma matriz triangular superior, resolvemos primeiro a última equação (que envolve só x_{n}), depois substituímos na anterior, e assim por diante.
Temos
U=\begin{bmatrix}3 & -1 & -1\\[4pt]0 & 11/3 & 5/3\\[4pt]0 & 0 & 57/33\end{bmatrix}, \qquad y=\begin{bmatrix}4\\[2pt]-\dfrac{5}{3}\\[2pt]-\dfrac{19}{11}\end{bmatrix}.
Escrevendo as equações de baixo para cima:
  • Terceira equação:
\dfrac{57}{33}\,x_{3} = -\dfrac{19}{11}.
Isolando x_{3}:
x_{3} = \left(-\dfrac{19}{11}\right)\Big/\left(\dfrac{57}{33}\right) = -\dfrac{19}{11}\cdot\dfrac{33}{57}.
Simplificando: 33/11=3 e 57/3=19, então
x_{3} = -\dfrac{19\cdot 3}{57} = -\dfrac{57}{57} = -1.
  • Segunda equação:
\dfrac{11}{3}\,x_{2} + \dfrac{5}{3}\,x_{3} = -\dfrac{5}{3}.
Substituindo x_{3}=-1:
\dfrac{11}{3}\,x_{2} + \dfrac{5}{3}(-1) = -\dfrac{5}{3}.
Logo
\dfrac{11}{3}\,x_{2} - \dfrac{5}{3} = -\dfrac{5}{3}\quad\Longrightarrow\quad \dfrac{11}{3}\,x_{2}=0,
portanto
x_{2}=0.
  • Primeira equação:
3\,x_{1} - 1\cdot x_{2} - 1\cdot x_{3} = 4.
Substituindo x_{2}=0 e x_{3}=-1:
3\,x_{1} - 0 - (-1) = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3\,x_{1} + 1 = 4,
então
3\,x_{1} = 3 \quad\Longrightarrow\quad x_{1}=1.
Obtivemos, portanto, os componentes x_{1},x_{2},x_{3}.]

Resposta

x_{1}=1\n
x_{2}=0\n
x_{3}=-1

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