A pergunta é: determine a solução do sistema, isto é, encontre \,x_1,x_2,x_3.]
Passo 2
Explicando o que vamos usar (sem pular etapas):
Quando se faz LU com pivoteamento parcial aplicando permutações de linha, o fator final de permutação é a multiplicação matricial das permutações aplicadas na ordem em que foram usadas. Chamando P essa permutação total, a decomposição dada satisfaz
P\,A = L\,U,
onde A é a matriz dos coeficientes e P é a matriz de permutação resultante. Multiplicando essa igualdade por x e usando A x=b, obtemos
L\,U\,x = P\,b.
Portanto, para resolver A x=b basta:
calcular P\,b;
resolver L\,y = P\,b por substituição para frente (pois L é triangular inferior com diagonal 1);
resolver U\,x = y por substituição para trás (pois U é triangular superior).
Vou seguir exatamente esses passos, mostrando cada conta.
Passo 3
Calculemos a permutação total P. Como as permutações foram aplicadas sucessivamente, a permutação total é
Resolver U\,x = y por substituição para trás.
Explicando o método: em uma matriz triangular superior, resolvemos primeiro a última equação (que envolve só x_{n}), depois substituímos na anterior, e assim por diante.