Seja o sistema de equações lineares:
K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0
x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1
K x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=2
Determine os valores de K para que o sistema acima satisfaça o critério de convergência de linhas.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} K x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] x_{1}+5 x_{2}+3 x_{3}=1,\\[4pt] K x_{1}+2 x_{2}+6 x_{3}=2, \end{cases}
e pede: determine os valores de K para que o sistema satisfaça o critério de convergência de linhas.
Informações relevantes fornecidas:
A=\begin{pmatrix} K & 2 & 1\\[4pt] 1 & 5 & 3\\[4pt] K & 2 & 6 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}.
Não há outras informações; a pergunta é: quais valores de K fazem com que o critério de convergência de linhas seja satisfeito?]

Passo 2

O que é o “critério de convergência de linhas” (explicação didática): trata-se do critério de dominância diagonal por linhas (estrita). Ele exige que, para cada linha i da matriz dos coeficientes, o módulo do elemento diagonal seja maior que a soma dos módulos dos outros elementos nessa linha. Em fórmulas:
\text{para cada }i:\qquad |a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Aqui a_{ii} é o coeficiente que está na diagonal (linha i, coluna i) e a_{ij} são os outros coeficientes da mesma linha. Essa condição é suficiente para garantir convergência de métodos iterativos como Jacobi e Gauss–Seidel; intuitivamente garante que cada equação é “dominada” pelo seu termo x_i, permitindo que o processo iterativo seja uma contração. Então vamos aplicar exatamente essa desigualdade linha a linha na nossa matriz A.

Passo 3

Aplicando o critério à primeira linha (linha 1):
o elemento diagonal é a_{11}=K e os outros elementos são 2 e 1. A desigualdade é
|K|>\;|2|+|1|.
Calcule o lado direito:
|2|+|1|=2+1=3.
Logo a condição da linha 1 é
|K|>3.

Passo 4

Aplicando o critério à segunda linha (linha 2):
o elemento diagonal é a_{22}=5 e os outros elementos são 1 e 3. A desigualdade é
|5|>\;|1|+|3|.
Calcule o lado direito:
|1|+|3|=1+3=4.
Como 5>4, a linha 2 satisfaz o critério para todo K. Ou seja, não impõe restrição em K.

Passo 5

Aplicando o critério à terceira linha (linha 3):
o elemento diagonal é a_{33}=6 e os outros elementos são K e 2. A desigualdade é
|6|>\;|K|+|2|.
Calcule o lado direito parcial:
|2|=2,
portanto a condição da linha 3 é
6>|K|+2.
Subtraindo 2 de ambos os lados:
4>|K|,
ou seja
|K|<4.

Passo 6

Agora unimos as condições obtidas nas três linhas:
\begin{cases} |K|>3 & \text{(da linha 1)},\\[4pt] |K|<4 & \text{(da linha 3)}. \end{cases}
A linha 2 já era satisfeita sem restrição extra. Combinando as duas desigualdades temos
3<|K|<4.
Em termos de K real isso equivale ao intervalo união
K\in(-4,-3)\cup(3,4).
Observação importante: as desigualdades são estritas porque o critério exige >, não \ge; assim valores com |K|=3 ou |K|=4 não servem.]

Passo 7

Exemplos rápidos para fixar a intuição:
K=3{,}5\Rightarrow |K|=3{,}5\in(3,4)\\ \text{funciona (todas as linhas estritamente dominantes)}.
K=3\Rightarrow |K|=3\\ \text{não funciona (linha 1 fica só marginalmente igual a 3)}.ãó
K=-3{,}5\Rightarrow |K|=3{,}5\\ \text{funciona (está no intervalo negativo simétrico)}.áé

Resposta

K\in(-4,-3)\cup(3,4)

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