1. Seja o sistema: \left\{\begin{array}{l}3 x+y=k^{2}-9 \\\ x-2 y=k+3\end{array}\right.. Calcule k para que o sistema seja homogêneo.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
\left\{\begin{array}{l} 3x + y = k^{2} - 9\\[4pt] x - 2y = k + 3 \end{array}\right.
e pede para calcular k de forma que o sistema seja homogêneo.
Informações relevantes que temos: as duas equações lineares acima, com termos independentes (lado direito) que dependem de k. A pergunta é: quais valores de k fazem com que o sistema seja homogêneo?]

Passo 2

O que significa “sistema homogêneo”? Vou explicar devagar. Um sistema linear é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes (os termos do lado direito das equações) são iguais a zero. Em outras palavras, um sistema do tipo
\left\{\begin{array}{l} a_{11}x + a_{12}y = b_1\\[4pt] a_{21}x + a_{22}y = b_2 \end{array}\right.
é homogêneo quando b_1 = 0 e b_2 = 0. É importante porque aí o vetor nulo x=0,y=0 é sempre solução (chamada de solução trivial). Agora aplicamos essa definição ao nosso sistema: precisamos que ambos k^{2}-9 e k+3 sejam zero ao mesmo tempo.]

Passo 3

Impondo que os termos independentes sejam zero, obtemos o sistema de equações em k\): \[\begin{cases} k^{2}-9 = 0\\[4pt] k+3 = 0 \end{cases}
Agora resolvemos cada uma. A primeira é uma diferença de quadrados:
k^{2}-9=(k-3)(k+3)=0,
portanto suas soluções são k=3\] ou \(k=-3. A segunda é linear e dá diretamente
k+3=0 \implies k=-3.]

Passo 4

Como queremos valores de k que satisfaçam simultaneamente as duas condições, tomamos a interseção dos conjuntos de soluções. Da primeira equação temos \{3,-3\} e da segunda temos \{-3\}. A interseção é \{-3\}. Logo o único valor de k que torna o sistema homogêneo é k=-3.

Passo 5

Fazendo uma checagem rápida: para k=-3 temos
k^{2}-9 = (-3)^{2}-9 = 9-9=0
e
k+3 = -3+3=0,
portanto o sistema fica
\left\{\begin{array}{l} 3x+y=0\\[4pt] x-2y=0 \end{array}\right.
que é de fato homogêneo. (Como extra: a matriz dos coeficientes é \begin{pmatrix}3&1\\[2pt]1&-2\end{pmatrix} com determinante -7\neq0, então esse sistema homogêneo só tem a solução trivial x=0,y=0.)]

Resposta

-3

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