- Seja o sistema:
. Calcule
para que o sistema seja homogêneo.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema
e pede para calcular
de forma que o sistema seja homogêneo.
Informações relevantes que temos: as duas equações lineares acima, com termos independentes (lado direito) que dependem de . A pergunta é: quais valores de
fazem com que o sistema seja homogêneo?]
Informações relevantes que temos: as duas equações lineares acima, com termos independentes (lado direito) que dependem de
Passo 2
O que significa “sistema homogêneo”? Vou explicar devagar. Um sistema linear é chamado de homogêneo quando todos os termos independentes (os termos do lado direito das equações) são iguais a zero. Em outras palavras, um sistema do tipo
é homogêneo quando
e
. É importante porque aí o vetor nulo
é sempre solução (chamada de solução trivial). Agora aplicamos essa definição ao nosso sistema: precisamos que ambos
e
sejam zero ao mesmo tempo.]
Passo 3
Impondo que os termos independentes sejam zero, obtemos o sistema de equações em
Agora resolvemos cada uma. A primeira é uma diferença de quadrados:
portanto suas soluções são
. A segunda é linear e dá diretamente
Passo 4
Como queremos valores de
que satisfaçam simultaneamente as duas condições, tomamos a interseção dos conjuntos de soluções. Da primeira equação temos
e da segunda temos
. A interseção é
. Logo o único valor de
que torna o sistema homogêneo é
.
Passo 5
Fazendo uma checagem rápida: para
temos
e
portanto o sistema fica
que é de fato homogêneo. (Como extra: a matriz dos coeficientes é
com determinante
, então esse sistema homogêneo só tem a solução trivial
.)]