Seja um sistema com a seguinte função de transferência:
a) Obtenha a resposta deste sistema, no tempo: 1) ao degrau unitário, 2) à rampa.
b) Calcule o valor final da resposta ao degrau.
c) Calcule o erro de estado estacionário na resposta ao degrau.
b) Calcule o valor final da resposta ao degrau.
c) Calcule o erro de estado estacionário na resposta ao degrau.
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência do sistema
e pede:
- a resposta no tempo ao degrau unitário (entrada
); - a resposta no tempo à rampa unitária (entrada
);
b) o valor final da resposta ao degrau;
c) o erro de estado estacionário na resposta ao degrau.
Informações relevantes fornecidas:
As entradas têm transformadas de Laplace: degrau unitário
e rampa unitária
.
Passo 2
Breve lembrete de método (passo a passo do que vamos usar):
- Para um sistema LTI com função de transferência
e entrada com transformada , a saída em Laplace é . Depois fazemos a transformada inversa para obter . - Para inverter frações racionais usamos decomposição em frações parciais.
- Para determinar valor final usamos o Teorema do Valor Final:
, quando aplicável.
Vou aplicar isto às duas entradas pedidas.
Passo 3
Resposta ao degrau — primeiro passo no domínio de Laplace. A transformada do degrau unitário é
. Assim
Ou seja, precisamos inverter
Passo 4
Decomposição em frações parciais para
. Procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Escolhendo
e
para achar direto:
- Para
: - Para
:
Portanto
Passo 5
Transformada inversa de Laplace (recordando:
para
). Assim
Comentário didático: a resposta ao degrau é a soma de decaimentos exponenciais. Note que
, compatível com a presença do fator
em
(o ganho DC é zero).
Passo 6
Resposta à rampa — domínio de Laplace. A transformada da rampa unitária
é
. Então
Precisamos inverter
Passo 7
Decomposição em frações parciais para
. Procuramos
tais que
Multiplicando por
dá
Avalie em
:
Então
Passo 8
Inverse Laplace para obter
. Usando
e
, obtemos
Comentário didático: para uma entrada que cresce (rampa), a saída aqui tende para a constante
quando
. Isso significa que o erro
cresce sem limite: o sistema não consegue acompanhar uma rampa (é um sistema de tipo zero — não possui integrador em
).
Passo 9
Valor final da resposta ao degrau. Podemos usar o resultado obtido em tempo ou o Teorema do Valor Final. Pela expressão obtida:
Pelo Teorema do Valor Final:
Ambas concordam: valor final é zero. Intuição:
(ganho DC nulo), então um degrau no comando é completamente atenuado a longo prazo.
Passo 10
Erro de regime (estado estacionário) na resposta ao degrau. Definição: para entrada degrau unitário
,
Como
, então
Também pela constante estática de posição
, o erro estacionário para degrau é
, confirmando o resultado.
Resposta
a1)
para
a2) para
b)
c) Erro de estado estacionário ao degrau:
a2)
b)
c) Erro de estado estacionário ao degrau: