Obtenha a função de transferência,
, correspondente à equação diferencial:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede a função de transferência
.\n
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A incógnita de saída no tempo é
e sua transformada de Laplace será .\n - A entrada no tempo é
e sua transformada de Laplace será .\n - Queremos a relação algébrica entre
e , isto é, .\n - Para obter a função de transferência costuma-se assumir condições iniciais nulas (zero) — vou explicitar e usar isso na resolução.
Passo 2
O que é e como obter a função de transferência (mini-aula prática):\n
- A função de transferência
é a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada assumindo condições iniciais nulas: quando todas as condições iniciais são zero.\n - A técnica padrão: aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial e usar a propriedade da transformada para derivadas.\n
- Propriedade importante (com condições iniciais nulas): a transformada de Laplace da derivada
-ésima é quando .\n
Vou usar essa propriedade passo a passo para cada termo da equação.
Passo 3
Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo termo a termo (assumindo condições iniciais nulas). Para clareza, chamo
e
.\n
- Para
temos (pela propriedade acima).\n - Para
temos .\n - Para
temos .\n - Para
temos .\n
Somando esses termos do lado esquerdo obtemos, em-domínio,
Passo 4
Agora aplico a transformada de Laplace ao lado direito termo a termo (também com condições iniciais nulas):\n
- Para
temos .\n - Para
temos .\n - Para
temos .\n
Somando esses termos do lado direito obtemos
Passo 5
Igualando as transformadas dos dois lados da equação diferencial obtemos a equação algébrica em
:
Agora isolo a razão
para obter a função de transferência.
Passo 6
Dividindo ambos os lados por
obtemos
Portanto uma forma explícita da função de transferência é
Passo 7
Podemos simplificar a expressão fatorando numerador e denominador (isso ajuda a ver polos e zeros):\n
- Numerador:
.\n - Denominador: testando
temos , logo é fator. Fazendo a divisão polinomial obtemos
Substituindo esses fatores em
temos
Passo 8
Podemos cancelar o fator comum
(é um cancelamento algébrico de zero/polo) e obter a forma simplificada da função de transferência:
Observação breve e didática: o cancelamento de
significa que há um zero e um polo no mesmo lugar em
— algébricamente desaparecem na função de transferência reduzida, mas em sistemas reais isso pode indicar modos cancelados ou dependentes de condições iniciais/estruturas internas. Para fins de análise em espaço de estados ou resposta a entradas com condições iniciais nulas, essa forma reduzida é a que frequentemente se usa.