Obtenha a função de transferência, \mathrm{G}(\mathrm{s})=\mathrm{C}(\mathrm{s}) / \mathrm{R}(\mathrm{s}), correspondente à equação diferencial:
\frac{d^{3} c}{d t^{3}}+3 \frac{d^{2} c}{d t^{2}}+7 \frac{d c}{d t}+5 c=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}+4 \frac{d r}{d t}+3 r

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d^{3} c}{d t^{3}}+3 \frac{d^{2} c}{d t^{2}}+7 \frac{d c}{d t}+5 c=\frac{d^{2} r}{d t^{2}}+4 \frac{d r}{d t}+3 r
e pede a função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s})=\mathrm{C}(\mathrm{s})/\mathrm{R}(\mathrm{s}).\n
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita de saída no tempo é c(t) e sua transformada de Laplace será C(s).\n
  • A entrada no tempo é r(t) e sua transformada de Laplace será R(s).\n
  • Queremos a relação algébrica entre C(s) e R(s), isto é, \mathrm{G}(\mathrm{s}).\n
  • Para obter a função de transferência costuma-se assumir condições iniciais nulas (zero) — vou explicitar e usar isso na resolução.

Passo 2

O que é e como obter a função de transferência (mini-aula prática):\n
  • A função de transferência \mathrm{G}(\mathrm{s}) é a razão entre a transformada de Laplace da saída e da entrada assumindo condições iniciais nulas: \mathrm{G}(\mathrm{s})=\dfrac{C(s)}{R(s)} quando todas as condições iniciais são zero.\n
  • A técnica padrão: aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial e usar a propriedade da transformada para derivadas.\n
  • Propriedade importante (com condições iniciais nulas): a transformada de Laplace da derivada n-ésima é \mathcal{L}\{c^{(n)}(t)\}=s^{n}C(s) quando c(0)=c'(0)=\dots=c^{(n-1)}(0)=0.\n
    Vou usar essa propriedade passo a passo para cada termo da equação.

Passo 3

Aplicando a transformada de Laplace ao lado esquerdo termo a termo (assumindo condições iniciais nulas). Para clareza, chamo \mathcal{L}\{c(t)\}=C(s) e \mathcal{L}\{r(t)\}=R(s).\n
  • Para \dfrac{d^{3}c}{dt^{3}} temos \mathcal{L}\{\dfrac{d^{3}c}{dt^{3}}\}=s^{3}C(s) (pela propriedade acima).\n
  • Para 3\dfrac{d^{2}c}{dt^{2}} temos 3\,s^{2}C(s).\n
  • Para 7\dfrac{dc}{dt} temos 7\,sC(s).\n
  • Para 5c temos 5C(s).\n
    Somando esses termos do lado esquerdo obtemos, em s-domínio,
\left(s^{3}+3s^{2}+7s+5\right)C(s).

Passo 4

Agora aplico a transformada de Laplace ao lado direito termo a termo (também com condições iniciais nulas):\n
  • Para \dfrac{d^{2}r}{dt^{2}} temos s^{2}R(s).\n
  • Para 4\dfrac{dr}{dt} temos 4sR(s).\n
  • Para 3r temos 3R(s).\n
    Somando esses termos do lado direito obtemos
\left(s^{2}+4s+3\right)R(s).

Passo 5

Igualando as transformadas dos dois lados da equação diferencial obtemos a equação algébrica em s:
\left(s^{3}+3s^{2}+7s+5\right)C(s)=\left(s^{2}+4s+3\right)R(s).
Agora isolo a razão C(s)/R(s) para obter a função de transferência.

Passo 6

Dividindo ambos os lados por \left(s^{3}+3s^{2}+7s+5\right)R(s) obtemos
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{s^{2}+4s+3}{s^{3}+3s^{2}+7s+5}.
Portanto uma forma explícita da função de transferência é
\mathrm{G}(s)=\frac{s^{2}+4s+3}{s^{3}+3s^{2}+7s+5}.

Passo 7

Podemos simplificar a expressão fatorando numerador e denominador (isso ajuda a ver polos e zeros):\n
  • Numerador: \;s^{2}+4s+3=(s+1)(s+3).\n
  • Denominador: testando s=-1 temos (-1)^{3}+3(-1)^{2}+7(-1)+5=-1+3-7+5=0, logo s+1 é fator. Fazendo a divisão polinomial obtemos
s^{3}+3s^{2}+7s+5=(s+1)\left(s^{2}+2s+5\right).
Substituindo esses fatores em \mathrm{G}(s) temos
\mathrm{G}(s)=\frac{(s+1)(s+3)}{(s+1)\left(s^{2}+2s+5\right)}.

Passo 8

Podemos cancelar o fator comum (s+1) (é um cancelamento algébrico de zero/polo) e obter a forma simplificada da função de transferência:
\mathrm{G}(s)=\frac{s+3}{s^{2}+2s+5}.
Observação breve e didática: o cancelamento de (s+1) significa que há um zero e um polo no mesmo lugar em s=-1 — algébricamente desaparecem na função de transferência reduzida, mas em sistemas reais isso pode indicar modos cancelados ou dependentes de condições iniciais/estruturas internas. Para fins de análise em espaço de estados ou resposta a entradas com condições iniciais nulas, essa forma reduzida é a que frequentemente se usa.

Resposta

\mathrm{G}(s)=\frac{s+3}{s^{2}+2s+5}

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