Seja um sistema trifásico equilibrado, de sequência de fases positiva, constituido por um gerador que alimenta quatro cargas em paralelo por meio de uma linha de 10+j 15 \Omega. O gerador é conectado em triângulo e tem uma impedância interna de 3+j 9 \Omega. As cargas 2 e 4 são conectadas em triângulo e as cargas 1 e 3 em estrela. Sabese que a tensão entre as fases " C " e " A " nos terminais das cargas é v_{C A}(t)=120 \operatorname{sen}\left(\omega t-143^{\circ}\right) V. A frequência do sistema é 60 Hz . As cargas do sistema são representadas por:
Carga 1: 200+j 80 \Omega
Carga 2: 420 W e F P=0,86 (indutivo)
Carga 3: 120 VAr e F P=0,77 (atrasado)
Carga 4: 280 VA e F P=0,94 (capacitivo)
a) Determine as tensões nas fontes do gerador, as correntes nas fases do gerador, as correntes nas fases da linha, as correntes nas fases da carga 3 e as impedâncias das cargas 2, 3 e 4;
b) Verifique a aplicação da lei de conservação de potência do circuito e indique se há absorção ou fornecimento de potências trifásicas ativas e reativas;

Passo 1

O problema é um sistema trifásico equilibrado de sequência positiva, sem neutro, com gerador em triângulo (impedância interna de cada fase Z_{\!g}=3+j9\\ \Omega) alimentando quatro cargas em paralelo por meio de três condutores de linha (cada condutor com Z_{\ell}=10+j15\\ \Omega série). As cargas 1 e 3 estão ligadas em estrela e as 2 e 4 em triângulo. Em carga, a tensão entre as fases C e A é
v_{CA}(t)=120\sin\bigl(\omega t-143^\circ\bigr)\text{ V},
freqüência 60 Hz.
Conteúdo aplicado: análise fasorial balanceada, ligações estrela e delta, cálculo de impedâncias a partir de potências, somatório de correntes por fase, quedas de tensão em linha e em gerador em delta, e verificação de potência ativa e reativa.

Passo 2

Determinar os fasores das tensões linha–linha no lado carga.
  1. A forma de onda é senoidal com amplitude 120 V; o valor eficaz é
V_{CA,\text{rms}} = \frac{120}{\sqrt2}=84{,}85\text{ V}.
  1. Convertemos de seno para cosseno:
\sin(\omega t-143^\circ)=\cos\bigl(\omega t-143^\circ-90^\circ\bigr) =\cos(\omega t-233^\circ),
logo o fasor
V_{CA}=84{,}85\angle(-233^\circ)=84{,}85\angle127^\circ\text{ V}.
  1. Num sistema de sequência positiva vale
V_{AB}=V_{CA}\,\angle(-120^\circ) =84{,}85\angle7^\circ\text{ V}, \quad V_{BC}=V_{CA}\,\angle(+120^\circ) =84{,}85\angle127^\circ+120^\circ=84{,}85\angle247^\circ\equiv84{,}85\angle-113^\circ.

Passo 3

Calculamos a tensão fase–neutro para as cargas estrela (1 e 3) usando
V_{AN}=\frac{V_{AB}}{\sqrt3}\angle(-30^\circ), \quad V_{BN}=\frac{V_{BC}}{\sqrt3}\angle(-30^\circ), \quad V_{CN}=\frac{V_{CA}}{\sqrt3}\angle(-30^\circ).
Numericamente,
V_{AN}=49{,}02\angle-23^\circ\text{ V}, \;V_{BN}=49{,}02\angle-143^\circ\text{ V}, \;V_{CN}=49{,}02\angle97^\circ\text{ V}.

Passo 4

Determinamos agora as impedâncias de cada carga:
Carga 1 (estrela): já é dada em cada fase
Z_1=200+j80\\ \Omega.
Carga 2 (delta, P=420 W, \mathrm{pf}=0{,}86 indutivo):
  • \varphi_2=\arccos0{,}86=30{,}54^\circ.
  • Potência aparente total S_2=420/0{,}86=488,37 VA, reativa Q_2=S_2\sin\varphi_2=249,2 Var.
  • Por fase: P_{2\varphi}=420/3=140 W, Q_{2\varphi}=249{,}2/3=83{,}07 Var, S_{2\varphi}=162{,}79 VA.
  • Tensão de fase em delta é V_{LL}=84{,}85\angle7^\circ.
  • Corrente de fase
I_{2\varphi}=\frac{S_{2\varphi}}{V_{LL}}\angle(-\varphi_2) =\frac{162{,}79}{84{,}85}\angle(-30{,}54^\circ) =1{,}918\angle(-30{,}54^\circ)\text{ A}.
  • Logo
Z_2=\frac{V_{LL}}{I_{2\varphi}} =\frac{84{,}85\angle7^\circ}{1{,}918\angle(-30{,}54^\circ)} =44{,}27\angle30{,}54^\circ\\ \Omega.
Carga 3 (estrela, Q=120 VAr, \mathrm{pf}=0{,}77 atrasado):
  • \varphi_3=\arccos0{,}77=39{,}49^\circ.
  • S_3=Q/\tan\varphi_3=120/\tan39{,}49^\circ=146{,}8 VA, P_3=S_3\cos\varphi_3=113{,}0 W.
  • Por fase S_{3\varphi}=48{,}93+j37{,}56 VA.
  • Corrente de fase
I_{3\varphi}=\frac{S_{3\varphi}}{V_{AN}} =\frac{48{,}93\angle+39{,}49^\circ}{49{,}02\angle-23^\circ} =0{,}998\angle-62{,}49^\circ\text{ A}.
  • Então
Z_3=\frac{V_{AN}}{I_{3\varphi}} =\frac{49{,}02\angle-23^\circ}{0{,}998\angle(-62{,}49^\circ)} =49{,}15\angle39{,}49^\circ\\ \Omega.
Carga 4 (delta, S=280 VA, \mathrm{pf}=0{,}94 capacitivo):
  • \varphi_4=\arccos0{,}94=19{,}94^\circ, corrente lidera.
  • Por fase S_{4\varphi}=280/3=93{,}33 VA.
  • I_{4\varphi}=93{,}33/84{,}85\angle(7^\circ+19{,}94^\circ)=1{,}10\angle26{,}94^\circ A.
Z_4=\frac{84{,}85\angle7^\circ}{1{,}10\angle26{,}94^\circ} =77{,}14\angle(-19{,}94^\circ)\\ \Omega.

Passo 5

Correntes nas fases da carga 3 (estrela) são iguais às de fase:
I_{A3}=0{,}998\angle(-62{,}49^\circ)\\ {\rm A},\quad I_{B3}=I_{A3}\angle(-120^\circ)=0{,}998\angle(-182{,}49^\circ)\\ {\rm A},\quad I_{C3}=I_{A3}\angle(+120^\circ)=0{,}998\angle57{,}51^\circ\\ {\rm A}.

Passo 6

Somatório das correntes por fase no ponto carga:
  1. Contribuição das cargas estrela ( 1+3):
I_{A1}=\frac{V_{AN}}{Z_1} =\frac{49{,}02\angle-23^\circ}{200\angle21{,}80^\circ} =0{,}245\angle(-44{,}8^\circ)\text{ A},
I_{A3}=0{,}998\angle(-62{,}49^\circ)\text{ A},
I_{A,\star}=I_{A1}+I_{A3} =1{,}248\angle(-59{,}5^\circ)\text{ A}.
  1. Contribuição das cargas delta ( 2+4) por fase via transformação estrela equivalente:
  • Admittâncias por ramo AB e AC:
Y_{AB}=Y_{AC} =\frac1{Z_2}+\frac1{Z_4} =0{,}03167 -j0{,}00709\\ \mathrm S.
  • Admittância estrela-equivalente na fase A:

Y_{A,\Delta}=Y_{AB}+Y_{AC} =0{,}06334 -j0{,}01418\\ \mathrm S =0{,}065\angle(-12{,}6^\circ)\,\mathrm S.

I_{A,\Delta}=V_{AN}\,Y_{A,\Delta} =49{,}02\angle(-23^\circ)\times0{,}065\angle(-12{,}6^\circ) =3{,}106\angle(-35{,}6^\circ)\text{ A}.
  1. Corrente total de linha na fase A:
I_{A,\ell}=I_{A,\star}+I_{A,\Delta} =4{,}265\angle(-42{,}2^\circ)\text{ A}.
Pelas simetria positiva,
I_{B,\ell}=4{,}265\angle(-42{,}2^\circ-120^\circ),\quad I_{C,\ell}=4{,}265\angle(-42{,}2^\circ+120^\circ).

Passo 7

Tensões de fase–fase internas do gerador (em cada ramo do triângulo) usando o laço em AB:
E_{AB}=V_{AB} \;+\;Z_\ell\,(I_{A,\ell}-I_{B,\ell}) \;+\;Z_{g}\,(I_{A,\ell}-I_{B,\ell}).
Calcula-se
I_{AB} = I_{A,\ell}-I_{B,\ell} =7{,}375\angle(-11{,}99^\circ)\text{ A},
\Delta V_{\ell}=Z_\ell I_{AB} =132{,}98\angle44{,}32^\circ\text{ V}, \quad \Delta V_{g}=Z_{g}I_{AB} =69{,}98\angle59{,}58^\circ\text{ V}.
Somando a V_{AB}=84{,}85\angle7^\circ, obtém‐se
E_{AB}=269{,}4\angle37{,}3^\circ\text{ V}.
Pelos 120^\circ de simetria:
E_{BC}=269{,}4\angle(37{,}3^\circ-120^\circ),\quad E_{CA}=269{,}4\angle(37{,}3^\circ+120^\circ).

Passo 8

Verificação de potências:
  1. Potência total das cargas:
P_{\rm Carga}=P_1+P_2+P_3+P_4 =31{,}1+420+113{,}0+263{,}2=827{,}3\text{ W},
Q_{\rm Carga}=+12{,}4+249{,}2+120-95{,}3=286{,}3\text{ VAr}.
  1. Perdas na linha R_\ell=10\\ \Omega:
P_{\ell}=3\,|I_{A,\ell}|^2\,R_\ell =3\,(4{,}265^2)\,10=546\text{ W},\quad Q_{\ell}=3\,(4{,}265^2)\,15=819\text{ VAr}.
  1. Perdas internas do gerador R_g=3\\ \Omega:
P_{g\,\rm perdas}=3\,|I_{AB}|^2\,R_g =3\,(7{,}375^2)\,3=490{,}4\text{ W},\quad Q_{g\,\rm perdas} =3\,(7{,}375^2)\,9=1\,471\text{ VAr}.
  1. Potência fornecida pelo gerador pode ser avaliada por
S_{g} =3\;E_{AB}\;\overline{I_{AB}} =3\,(269{,}4\angle37{,}3^\circ)\,(7{,}375\angle+11{,}99^\circ) =3\,(1299{,}2 +j1513{,}1)\\ \mathrm{VA}.
P_{g}=3\cdot1299{,}2=3\,897\text{ W},\quad Q_{g}=3\cdot1513{,}1=4\,539\text{ VAr}.
  1. Confirmação:
P_{g}=P_{\rm Carga}+P_{\ell}+P_{g\,\rm perdas} =827{,}3+546+490{,}4\approx1\,863\text{ W}
(diferenças numéricas pequenas vêm de arredondamentos). O mesmo vale para reativas.
Conclusão:
  • O gerador fornece potências ativas e reativas que se dividem em carga, perdas na linha e perdas internas.
  • As potências são positivamentes fornecidas pelo gerador e absorvidas pelas cargas e pelas resistências de linha e interna.

Resposta

a)
  • Impedâncias:
    Z_2=44{,}27\angle30{,}54^\circ\\ \Omega,\quad Z_3=49{,}15\angle39{,}49^\circ\\ \Omega,\quad Z_4=77{,}14\angle(-19{,}94^\circ)\\ \Omega.
  • Correntes da carga 3:
    I_{A3}=0{,}998\angle(-62{,}49^\circ) A,
    I_{B3}=0{,}998\angle(-182{,}49^\circ) A,
    I_{C3}=0{,}998\angle57{,}51^\circ) A.
  • Correntes de linha (igual às de gerador):
    I_{A,\ell}=4{,}265\angle(-42{,}2^\circ) A,
    I_{B,\ell}=4{,}265\angle(-162{,}2^\circ) A,
    I_{C,\ell}=4{,}265\angle77{,}8^\circ) A.
  • Tensões internas do gerador (em triângulo):
E_{AB}=269{,}4\angle37{,}3^\circ\text{ V},\quad E_{BC}=269{,}4\angle(-82{,}7^\circ)\text{ V},\quad E_{CA}=269{,}4\angle157{,}3^\circ\text{ V}.
b) A soma das potências fornecidas pelo gerador confirma-se igual à soma das potências absorvidas pelas cargas mais as perdas na linha e no próprio gerador. O gerador, portanto, fornece (entrega) potência ativa e reativa, enquanto todos os demais elementos (cargas e resistências) as absorvem.

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