8a Questão: Considere um circuito de 3 ramos em paralelo conforme descrito:
Fonte: \mathrm{v}(\mathrm{t})=84,85 \cos (377 \mathrm{t}) \mathrm{V}.
Ramo 1: Z=10 \angle 0^{\circ} \Omega;
Ramo 2: Z=3-j4 \Omega;
Ramo 3: Z=8+j 6 \Omega.
a) Obter o fasor tensão eficaz.
b) Calcular Z total
c) Calcular o fasor corrente total rms.

Passo 1

O enunciado dá uma fonte senoidal
v(t)=84,85\cos(377\,t)\,\text{V}
e três impedâncias em paralelo:
Z_1=10\angle0^\circ\;\Omega,\quad Z_2=3-j4\;\Omega,\quad Z_3=8+j6\;\Omega.
Pede-se:
a) o fasor de tensão eficaz,
b) a impedância equivalente do paralelo,
c) o fasor de corrente total rms.
Para isso vamos usar conversão para fasores (rms) e tratamento de impedâncias em paralelo via somatório de admitâncias.

Passo 2

Converter a tensão de tempo para fasor rms. Como
v(t)=V_m\cos(\omega t+\varphi)
temos V_m=84,85 e \varphi=0. Então
V_{\rm rms}=\frac{V_m}{\sqrt2}=\frac{84,85}{\sqrt2}\approx60{,}00\;\text{V}.
O fasor tensão é
\underline{V}=60\angle0^\circ\;\text{V}.

Passo 3

Calcular as admitâncias \,Y_k=1/Z_k.
Para Z_1=10\angle0^\circ:
Y_1=\frac1{10\angle0^\circ}=0{,}10\angle0^\circ\;\text{S}.
Para Z_2=3-j4:
Y_2=\frac{1}{3-j4}=\frac{3+j4}{3^2+4^2}=\frac{3+j4}{25}=0{,}12+j0{,}16
\phantom{Y_2}=\sqrt{0{,}12^2+0{,}16^2}\,\angle\arctan\frac{0{,}16}{0{,}12} =0{,}20\angle53{,}13^\circ\;\text{S}.
Para Z_3=8+j6:
Y_3=\frac{1}{8+j6}=\frac{8-j6}{8^2+6^2}=\frac{8-j6}{100}=0{,}08-j0{,}06
\phantom{Y_3}=0{,}10\angle-36{,}87^\circ\;\text{S}.

Passo 4

Somar as admitâncias e inverter para obter Z_{\rm eq}:
Y_{\rm eq}=Y_1+Y_2+Y_3=(0{,}10+0{,}12+0{,}08)+j(0+0{,}16-0{,}06)
\phantom{Y_{\rm eq}}=0{,}30+j0{,}10 =\sqrt{0{,}30^2+0{,}10^2}\,\angle\arctan\frac{0{,}10}{0{,}30} =0{,}31623\angle18{,}43^\circ\;\text{S}.
Logo
Z_{\rm eq}=\frac1{Y_{\rm eq}} =\frac1{0{,}31623\angle18{,}43^\circ} =3{,}1623\angle-18{,}43^\circ\;\Omega
ou, em forma retangular,
Z_{\rm eq}=3{-}j1\;\Omega.

Passo 5

Calcular a corrente total pelo divisor de impedâncias (ou diretamente \underline I=\underline V/Z_{\rm eq}):
\underline I =\frac{60\angle0^\circ}{3{,}1623\angle-18{,}43^\circ} =\frac{60}{3{,}1623}\angle(0+18{,}43^\circ) =18{,}97\angle18{,}43^\circ\;\text{A}.
Em retangular isso equivale a
\underline I=18+j6\;\text{A}.

Resposta

(a) \underline{V}=60\angle0^\circ\;\text{V}
(b) Z_{\rm eq}=3{,}1623\angle-18{,}43^\circ\;\Omega (ou 3-j1\;\Omega)
(c) \underline{I}=18{,}97\angle18{,}43^\circ\;\text{A} (ou 18+j6\;\text{A})

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