Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
-\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{25}-\frac{z^{2}}{9}=1 .
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado trata da superfície
-\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{25}-\frac{z^{2}}{9}=1
no espaço \mathbb{R}^3. Vamos (a) achar interseções com os eixos coordenados; (b) calcular traços nos planos xy, xz e yz; (c) calcular traços em planos y=k; e por fim (d) combinar essas informações para reconhecer e esboçar a superfície (um hiperbolóide de duas folhas).

Passo 2

(a) Interseções com os eixos:
  • Eixo x: y=0, z=0
-\frac{x^2}{25}=1\implies x^2=-25,
não há solução real.
  • Eixo y: x=0, z=0
\frac{y^2}{25}=1\implies y=\pm5.
  • Eixo z: x=0, y=0
-\frac{z^2}{9}=1\implies z^2=-9,
não há solução real.

Passo 3

(b) Traços nos planos coordenados:
  • Plano xy z=0:
-\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{25}=1 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{25}=1,
hipérbole centrada na origem, aberta no sentido de y, com assíntotas y=\pm x.
  • Plano xz y=0:
-\frac{x^2}{25}-\frac{z^2}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{25}+\frac{z^2}{9}=-1,
sem solução real (traço vazio).
  • Plano yz x=0:
\frac{y^2}{25}-\frac{z^2}{9}=1,
hipérbole centrada na origem, aberta no sentido de y.

Passo 4

(c) Traço em y=k: substituindo na equação original,
-\frac{x^2}{25}-\frac{z^2}{9}=1-\frac{k^2}{25} \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{25}+\frac{z^2}{9}=\frac{k^2}{25}-1.
Defina \displaystyle E=\frac{k^2}{25}-1.
  • Se \lvert k\rvert<5, então E<0 ⇒ traço vazio.
  • Se \lvert k\rvert=5, então E=0 ⇒ único ponto (0,5,0) ou (0,-5,0).
  • Se \lvert k\rvert>5, então E>0 ⇒ elipse
\frac{x^2}{25E}+\frac{z^2}{9E}=1.

Passo 5

(d) Montagem do esboço: os traços em y=k mostram elipses para \lvert y\rvert>5 que vão “abrindo” conforme \lvert y\rvert cresce, colapsando em pontos em \lvert y\rvert=5 e desaparecendo para \lvert y\rvert<5. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, simétrico em relação ao plano xy, com eixo principal ao longo de y.

Resposta

(a) Não há interseções com os eixos x e z. A interseção com o eixo y ocorre em (0,5,0) e (0,-5,0).
(b) Plano xy: hipérbole \tfrac{y^2}{25}-\tfrac{x^2}{25}=1. Plano xz: traço vazio. Plano yz: hipérbole \tfrac{y^2}{25}-\tfrac{z^2}{9}=1.
(c) Para y=k, não há pontos se \lvert k\rvert<5; ponto único se \lvert k\rvert=5; elipse \tfrac{x^2}{25E}+\tfrac{z^2}{9E}=1, E=(k^2/25)-1>0, se \lvert k\rvert>5.
(d) A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, voltado ao longo do eixo y, com “colchões” elípticos em cortes y=k para \lvert k\rvert>5 e pontos mínimos em y=\pm5.

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