Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado trata da superfície
no espaço
. Vamos (a) achar interseções com os eixos coordenados; (b) calcular traços nos planos
,
e
; (c) calcular traços em planos
; e por fim (d) combinar essas informações para reconhecer e esboçar a superfície (um hiperbolóide de duas folhas).
Passo 2
(a) Interseções com os eixos:
- Eixo
: , ⇒
não há solução real.
- Eixo
: , ⇒
- Eixo
: , ⇒
não há solução real.
Passo 3
(b) Traços nos planos coordenados:
- Plano
:
hipérbole centrada na origem, aberta no sentido de
, com assíntotas
.
- Plano
:
sem solução real (traço vazio).
- Plano
:
hipérbole centrada na origem, aberta no sentido de
.
Passo 4
(c) Traço em
: substituindo na equação original,
Defina
.
- Se
, então ⇒ traço vazio. - Se
, então ⇒ único ponto ou . - Se
, então ⇒ elipse
Passo 5
(d) Montagem do esboço: os traços em
mostram elipses para
que vão “abrindo” conforme
cresce, colapsando em pontos em
e desaparecendo para
. Isso caracteriza um hiperbolóide de duas folhas, simétrico em relação ao plano
, com eixo principal ao longo de
.
Resposta
(a) Não há interseções com os eixos
e
. A interseção com o eixo
ocorre em
e
.
(b) Plano : hipérbole
. Plano
: traço vazio. Plano
: hipérbole
.
(c) Para , não há pontos se
; ponto único se
; elipse
,
, se
.
(d) A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, voltado ao longo do eixo , com “colchões” elípticos em cortes
para
e pontos mínimos em
.
(b) Plano
(c) Para
(d) A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, voltado ao longo do eixo