Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em
Este é um caso de quadriculada com um único termo positivo (o de
) e dois termos negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo
. Para esboçá-lo, vamos:
- Encontrar interseções com os eixos coordenados.
- Calcular os traços em cada plano coordenado.
- Calcular os traços em planos
. - Juntar as informações para o esboço de
.
Passo 2
(a) Interseção com eixos: basta anular duas coordenadas de cada vez.
- Eixo
:
,
dá
não há solução real.
- Eixo
:
,
dá
Pontos
e
.
- Eixo
:
,
dá
sem solução real.
Passo 3
(b) Traços em planos coordenados:
- Plano
:
hipérbole no plano
com eixo transverso em
e assíntotas
.
- Plano
:
hipérbole no plano
com eixo transverso em
e assíntotas
.
- Plano
:
não há pontos reais.
Passo 4
(c) Traços em
: fixando
, a equação vira
- Se
, o lado direito é positivo e o traço é uma elipse em
.
- Se , o lado direito é negativo e não há ponto real.
- Se , o lado direito é zero e resta apenas o ponto
.
- Se
- Se
Passo 5
(d) Esboço de
:
- Duas folhas, para e para
.
- Em aparece apenas o ponto central.
- Para , a seção
é uma elipse cujo eixo maior cresce com
.
- Nos planos e
surgem hipérboles conforme descrito.
- Duas folhas, para
- Em
- Para
- Nos planos
Com isso, podemos desenhar um hiperbolóide de duas folhas simétrico em relação à origem, com o “pescoço” colapsando em
.
Resposta
(a) Não há interseção com
nem com
. Interseção com
:
e
.
(b) Plano : hipérbole
. Plano
: hipérbole
. Plano
: sem pontos reais.
(c) Para : elipse
se
; ponto
se
; vazio se
.
(d) Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo , colapsando nos pontos
.
(b) Plano
(c) Para
(d) Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo