Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
-\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{25}-\frac{z^{2}}{9}=1 .
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície de segundo grau em \mathbb{R}^3 -\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{25} - \frac{z^{2}}{9} = 1.
Este é um caso de quadriculada com um único termo positivo (o de y^2) e dois termos negativos, caracterizando um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo y. Para esboçá-lo, vamos:
  1. Encontrar interseções com os eixos coordenados.
  2. Calcular os traços em cada plano coordenado.
  3. Calcular os traços em planos y=k.
  4. Juntar as informações para o esboço de S.

Passo 2

(a) Interseção com eixos: basta anular duas coordenadas de cada vez.
- Eixo x: y=0, z=0
-\frac{x^2}{25}=1\quad\Longrightarrow\quad x^2=-25,
não há solução real.
- Eixo y: x=0, z=0
\frac{y^2}{25}=1\quad\Longrightarrow\quad y=\pm 5.
Pontos (0,5,0) e (0,-5,0).
- Eixo z: x=0, y=0
-\frac{z^2}{9}=1\quad\Longrightarrow\quad z^2=-9,
sem solução real.

Passo 3

(b) Traços em planos coordenados:
- Plano xy z=0:
-\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{25} = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -\!x^2 + y^2 =25,
hipérbole no plano xy com eixo transverso em y e assíntotas y=\pm x.
- Plano yz x=0:
\frac{y^2}{25}-\frac{z^2}{9}=1,
hipérbole no plano yz com eixo transverso em y e assíntotas z=\pm\frac{3}{5}y.
- Plano xz y=0:
-\frac{x^2}{25}-\frac{z^2}{9}=1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^2}{25}+\frac{z^2}{9}=-1,
não há pontos reais.

Passo 4

(c) Traços em y=k: fixando y=k, a equação vira
-\frac{x^2}{25}-\frac{z^2}{9} =1-\frac{k^2}{25} \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{25}+\frac{z^2}{9} =\frac{k^2}{25}-1.
- Se \lvert k\rvert>5, o lado direito é positivo e o traço é uma elipse em x\!z.
- Se \lvert k\rvert<5, o lado direito é negativo e não há ponto real.
- Se \lvert k\rvert=5, o lado direito é zero e resta apenas o ponto (0,k,0).

Passo 5

(d) Esboço de S:
- Duas folhas, para y\ge5 e para y\le-5.
- Em y=\pm5 aparece apenas o ponto central.
- Para \lvert y\rvert>5, a seção y=k é uma elipse cujo eixo maior cresce com \sqrt{k^2/25-1}.
- Nos planos xy e yz surgem hipérboles conforme descrito.
Com isso, podemos desenhar um hiperbolóide de duas folhas simétrico em relação à origem, com o “pescoço” colapsando em (0,\pm5,0).

Resposta

(a) Não há interseção com x nem com z. Interseção com y: (0,5,0) e (0,-5,0).
(b) Plano xy: hipérbole -x^2+y^2=25. Plano yz: hipérbole y^2/25 - z^2/9=1. Plano xz: sem pontos reais.
(c) Para y=k: elipse \tfrac{x^2}{25}+\tfrac{z^2}{9}=\tfrac{k^2}{25}-1 se \lvert k\rvert>5; ponto (0,\pm5,0) se \lvert k\rvert=5; vazio se \lvert k\rvert<5.
(d) Hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo y, colapsando nos pontos (0,\pm5,0).

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