Seja
a superfície do
dada pela equação de segundo grau
(a) Determine os pontos de interseção da superfície
com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície
nos planos
, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
definida por
Este é um caso de quadric surface (mais precisamente um hiperboloide de uma folha, pois há dois termos positivos e um negativo). Para resolver as questões, vamos (a) zerar duas coordenadas de cada vez para achar interseções com os eixos, (b) fixar uma coordenada nula para obter os traços nos planos coordenados, (c) fixar
para ver se dá curvas e (d) combinar tudo num esboço geral.
Passo 2
Interseções com os eixos coordenados obtêm-se fazendo duas variáveis iguais a zero de cada vez:
- Eixo
: , dá , logo . - Eixo
: , dá , o que não admite solução real. - Eixo
: , dá , logo .
Passo 3
Traços nos planos coordenados:
- Plano
:
que é uma hipérbole com vértices em
abrindo ao longo de
.
2. Plano :
2. Plano
que é uma elipse com semi-eixos
em
e
em
.
3. Plano :
3. Plano
que é uma hipérbole com vértices em
abrindo ao longo de
.
Passo 4
Traços no plano
com
:
Substituindo em
obtém-se
Substituindo
Como
para todo
, cada seção é uma elipse cujo tamanho cresce com
. Em particular, em
volta a ser a elipse do plano
.
Passo 5
Do mix de hipérboles em
e
e de elipses em cortes
, concluímos que
é um hiperboloide de uma folha orientado ao longo do eixo
. No centro
aparece a elipse
, e conforme
aumenta, aparecem elipses maiores. Nas projeções sobre
e
aparecem hipérboles.
Resposta
(a)
e
. Não há interseção real com o eixo
.
(b)
(b)
- Plano
: hipérbole . - Plano
: elipse . - Plano
: hipérbole .
(c) Emobtém-se elipses
que existem para todo
.
(d) é um hiperboloide de uma folha simétrico nos três planos coordenados, com eixo principal no eixo
, apresentando elipses crescentes conforme
aumenta e hipérboles nas projeções em
e
.
(d)