Seja S a superfície do \mathbb{R}^{3} dada pela equação de segundo grau
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{81}+\frac{z^{2}}{25}=1
(a) Determine os pontos de interseção da superfície S com os eixos coordenados, caso existam.
(b) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos coordenados, caso existam.
(c) Determine e esboce os traços da superfície S nos planos y=k, k \in \mathbb{R}, caso existam.
(d) Use os itens anteriores para apresentar um esboço de S.

Passo 1

O enunciado dá a superfície S\subset\mathbb{R}^3 definida por
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{81}+\frac{z^{2}}{25}=1.
Este é um caso de quadric surface (mais precisamente um hiperboloide de uma folha, pois há dois termos positivos e um negativo). Para resolver as questões, vamos (a) zerar duas coordenadas de cada vez para achar interseções com os eixos, (b) fixar uma coordenada nula para obter os traços nos planos coordenados, (c) fixar y=k para ver se dá curvas e (d) combinar tudo num esboço geral.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados obtêm-se fazendo duas variáveis iguais a zero de cada vez:
  1. Eixo x: y=0, z=0 \displaystyle \frac{x^2}{9}=1, logo x=\pm3.
  2. Eixo y: x=0, z=0 \displaystyle -\frac{y^2}{81}=1, o que não admite solução real.
  3. Eixo z: x=0, y=0 \displaystyle \frac{z^2}{25}=1, logo z=\pm5.

Passo 3

Traços nos planos coordenados:
  1. Plano xy z=0:
\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{81}=1,
que é uma hipérbole com vértices em (\pm3,0) abrindo ao longo de x.
2. Plano xz y=0:
\frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{25}=1,
que é uma elipse com semi-eixos a=3 em x e c=5 em z.
3. Plano yz x=0:
-\frac{y^2}{81}+\frac{z^2}{25}=1,
que é uma hipérbole com vértices em (0,\pm5) abrindo ao longo de z.

Passo 4

Traços no plano y=k com k\in\mathbb{R}:
Substituindo y=k em \frac{x^{2}}{9}-\frac{k^{2}}{81}+\frac{z^{2}}{25}=1 obtém-se
\frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{25}=1+\frac{k^2}{81}.
Como 1+\tfrac{k^2}{81}>0 para todo k, cada seção é uma elipse cujo tamanho cresce com |k|. Em particular, em y=0 volta a ser a elipse do plano xz.

Passo 5

Do mix de hipérboles em xy e yz e de elipses em cortes y=k, concluímos que S é um hiperboloide de uma folha orientado ao longo do eixo y. No centro y=0 aparece a elipse \tfrac{x^2}{9}+\tfrac{z^2}{25}=1, e conforme |y| aumenta, aparecem elipses maiores. Nas projeções sobre xy e yz aparecem hipérboles.

Resposta

(a) (x,y,z)=(\pm3,0,0) e (0,0,\pm5). Não há interseção real com o eixo y.
(b)
  • Plano xy: hipérbole \tfrac{x^2}{9}-\tfrac{y^2}{81}=1.
  • Plano xz: elipse \tfrac{x^2}{9}+\tfrac{z^2}{25}=1.
  • Plano yz: hipérbole -\tfrac{y^2}{81}+\tfrac{z^2}{25}=1.
    (c) Em y=k obtém-se elipses
\frac{x^2}{9}+\frac{z^2}{25}=1+\frac{k^2}{81},
que existem para todo k.
(d) S é um hiperboloide de uma folha simétrico nos três planos coordenados, com eixo principal no eixo y, apresentando elipses crescentes conforme |y| aumenta e hipérboles nas projeções em xy e yz.

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