Seja g(r, theta)=f(x, y), com x=r cos theta e y=r sen theta, em que f(x, y) a suposta diferenciável num subconjunto de R^2. Sejam u=cos theta i+sen theta j e v=-sen theta i+cos theta j. Mastre que
|nabla f(x, y)|^2=[partial0partial r(r, theta)]^2+1r[partialgpartial theta(r, theta)]^2, em que x=r cos theta e y=r sen theta.

Passo 1

O enunciado define
g(r,theta)=f(x,y) com
x = rcostheta, y = rsintheta
e diz que f é diferenciável em R^2. Também são dados os vetores unitários
u = costheta,i + sintheta,j, v = -sintheta,i + costheta,j
Queremos mostrar a identidade
|nabla f(x,y)|^2 = l[tfracpartial gpartial r(r,theta)r]^2 + 1r^2l[tfracpartial gpartial theta(r,theta)r]^2

Passo 2

Aplicamos a regra da cadeia para obter partial g/partial r e partial g/partialtheta. Como
g(r,theta)=fl(rcostheta,;rsinthetar),
temos
partial gpartial r = fxpartial (rcostheta)partial r + fypartial (rsintheta)partial r = fxcostheta + fysintheta =nabla fcdot u,
e
partial gpartial theta = fxpartial (rcostheta)partial theta + fypartial (rsintheta)partial theta = fx(-rsintheta) + fy(rcostheta) = r,nabla fcdot v

Passo 3

Como u e v formam uma base ortonormal em R^2, vale
(nabla fcdot u)^2 + (nabla fcdot v)^2 = |nabla f|^2
Substituindo
nabla fcdot u = partial gpartial r, nabla fcdot v = 1r,partial gpartial theta,
obtém-se
|nabla f|^2 = l[tfracpartial gpartial rr]^2 + l[tfrac1r,tfracpartial gpartialthetar]^2 = l[tfracpartial gpartial rr]^2 + 1r^2l[tfracpartial gpartialthetar]^2

Resposta

|nabla f(x,y)|^2 = l[tfracpartial gpartial r(r,theta)r]^2 + 1r^2l[tfracpartial gpartial theta(r,theta)r]^2

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