Seja
a temperatura em um ponto (
) no círculo
sen
e suponha que
Encontre onde as temperaturas máximas e mínimas no círculo ocorrem examinando
e
;
Passo 1
O enunciado pede para encontrar onde a temperatura em um ponto do arco do círculo dado atinge máximos e mínimos, examinando
e
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Devemos analisar pontos críticos no intervalo
(incluindo possíveis extremos nos endpoints
e
) e decidir se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
Passo 2
Calcular as derivadas das coordenadas em relação a
. Como
e
, temos
Isto vem da diferenciação básica de funções trigonométricas: a derivada de
é
e a de
é
.
Passo 3
Aplicar a regra da cadeia para obter
. A regra da cadeia diz que, ao derivar
em relação a
,
Aqui cada termo tem o significado:
é a taxa de variação de
quando
varia mantendo
fixo; multiplicamos por
porque
depende de
. O mesmo para o termo em
.
Passo 4
Substituir os valores dados de
,
,
,
e também
,
na expressão de
:
Agora substituir
e
:
Desenvolvendo cada produto:
Note que os termos
e
se cancelam, sobrando
Usando a identidade trigonométrica
, temos
. Portanto
Passo 5
Encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Soluções gerais:
, logo
. Restringindo a
, obtemos os pontos críticos
Além desses pontos críticos internos, devemos considerar os endpoints
e
porque o intervalo é fechado.
Passo 6
Aplicar o teste da segunda derivada. Derivando
obtemos
O teste: se
em um ponto crítico, é mínimo local; se
, é máximo local.
Avaliar em :
Avaliar em
logo
é mínimo local.
Avaliar em :
Avaliar em
logo
é máximo local.
Converter para coordenadas :
Converter para coordenadas
Passo 7
Para decidir se esses extremos locais são, de fato, os extremos globais no arco fechado
, comparamos os valores de
nestes pontos críticos e nos endpoints. Como temos
e
, podemos construir a função potencial
(o campo é conservativo porque as derivadas mistas coincidem):
portanto existe
tal que as derivadas dadas são suas parciais. Integramos
em
:
onde
é função de
só. Agora diferenciando essa expressão em
e igualando a
:
Integrando
obtemos
. Assim, uma primitiva é
onde
é constante (não influencia a posição dos extremos, só desloca os valores).
Passo 8
Calcular
nos pontos relevantes usando
.
Para
:
, então
Para
:
, então
Para os endpoints:
Comparando os valores
, vemos que o menor é
em
e o maior é
em
. Portanto os extremos locais encontrados são também os extremos globais no arco fechado.
Resposta
Mínimo global: em
, isto é, no ponto
, com
.\nMáximo global: em
, isto é, no ponto
, com
.