Seja T: \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) a função dada por T\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}\right)=a_{0} t+a_{1} t^{2}+a_{2} t^{3}. Determine se T é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação T:\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) definida por
T\bigl(a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}\bigr)=a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}.
O que se pede: determinar se T é uma transformação linear (ou seja, se respeita aditividade e homogeneidade). As informações relevantes são os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} da entrada e a forma explícita da saída (cada coeficiente “sobe” um grau).

Passo 2

Lembra do que significa ser transformação linear (vou explicar com calma): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,v no domínio e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas são as propriedades de aditividade e homogeneidade. Nosso objetivo é verificar essas duas propriedades para T dada.

Passo 3

Verificando a aditividade. Tomemos dois polinômios quaisquer em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}):
p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}, \qquad q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2},
onde a_{i},b_{i}\in\mathbb{R}. Primeiro escrevemos p+q:
p(t)+q(t)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})t+(a_{2}+b_{2})t^{2}.
Aplicando T a p+q usando a definição,
T(p+q)= (a_{0}+b_{0})t+(a_{1}+b_{1})t^{2}+(a_{2}+b_{2})t^{3}.
Agora calcule T(p)+T(q) separadamente:
T(p)=a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}, \qquad T(q)=b_{0}t+b_{1}t^{2}+b_{2}t^{3}.
Somando,
T(p)+T(q)=(a_{0}+b_{0})t+(a_{1}+b_{1})t^{2}+(a_{2}+b_{2})t^{3}.
Comparando as duas expressões vemos que
T(p+q)=T(p)+T(q).
Portanto a aditividade está satisfeita.

Passo 4

Verificando a homogeneidade. Tome um escalar c\in\mathbb{R} e o polinômio p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2}. Primeiro calcule c\,p:
c\,p(t)= (c a_{0})+(c a_{1})t+(c a_{2})t^{2}.
Aplicando T,
T(c\,p)=(c a_{0})t+(c a_{1})t^{2}+(c a_{2})t^{3}.
Agora calcule c\,T(p):
c\,T(p)=c\bigl(a_{0}t+a_{1}t^{2}+a_{2}t^{3}\bigr)=(c a_{0})t+(c a_{1})t^{2}+(c a_{2})t^{3}.
Portanto
T(c\,p)=c\,T(p).
A homogeneidade também está satisfeita.

Passo 5

Concluímos que T satisfaz ambas as propriedades exigidas para linearidade: aditividade e homogeneidade. Então T é linear. Vou dar uma intuição extra que ajuda na prova: T é exatamente a multiplicação pelo polinômio t; isto é, para todo p(t)\in\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) vale T(p)=t\cdot p(t). Multiplicar por um polinômio fixo é uma operação linear, por isso faz todo sentido que T seja linear.

Passo 6

Representação na base canônica (opcional, para fixar a ideia): tomando a base de \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) dada por \{1,t,t^{2}\} e a base de \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) por \{1,t,t^{2},t^{3}\}, temos
T(1)=t,\quad T(t)=t^{2},\quad T(t^{2})=t^{3}.
As coordenadas dessas imagens geram a matriz de T (4 linhas por 3 colunas):
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},
o que mostra de forma direta que T é um mapa linear (matriz vezes vetor-coluna de coordenadas).

Resposta

Sim, T é transformação linear.

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