Seja T: \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) a função dada por T\left(a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2}\right)=a_{0} t+a_{1} t^{2}+a_{2} t^{3}. Determine se T é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação T:\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) definida por
O que se pede: determinar se T é uma transformação linear (ou seja, se respeita aditividade e homogeneidade). As informações relevantes são os coeficientes a_{0},a_{1},a_{2} da entrada e a forma explícita da saída (cada coeficiente “sobe” um grau).
Passo 2
Lembra do que significa ser transformação linear (vou explicar com calma): uma aplicação T entre espaços vetoriais é linear se e somente se, para quaisquer vetores u,v no domínio e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(cu)=c\,T(u).
Essas são as propriedades de aditividade e homogeneidade. Nosso objetivo é verificar essas duas propriedades para T dada.
Passo 3
Verificando a aditividade. Tomemos dois polinômios quaisquer em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}):
Concluímos que T satisfaz ambas as propriedades exigidas para linearidade: aditividade e homogeneidade. Então T é linear. Vou dar uma intuição extra que ajuda na prova: T é exatamente a multiplicação pelo polinômio t; isto é, para todo p(t)\in\mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) vale T(p)=t\cdot p(t). Multiplicar por um polinômio fixo é uma operação linear, por isso faz todo sentido que T seja linear.
Passo 6
Representação na base canônica (opcional, para fixar a ideia): tomando a base de \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}) dada por \{1,t,t^{2}\} e a base de \mathbb{P}_{3}(\mathbb{R}) por \{1,t,t^{2},t^{3}\}, temos
T(1)=t,\quad T(t)=t^{2},\quad T(t^{2})=t^{3}.
As coordenadas dessas imagens geram a matriz de T (4 linhas por 3 colunas):