Seja
uma função. Decida em quais casos
é uma transformação linear:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
A pergunta é: decidir se
é uma transformação linear (ou seja, se
é uma aplicação linear de
em
).
Passo 2
Definição prática de transformação linear (lembrando passo a passo, sem pular):
Uma aplicação é linear se, para quaisquer vetores
e qualquer escalar
, valem as duas propriedades:
Uma aplicação
e
Essas duas propriedades são as que precisamos testar. Uma consequência imediata — que usamos muito em provas porque é rápida — é que toda transformação linear deve enviar o vetor zero em zero. Vou provar isso agora.
Passo 3
Prova de que uma transformação linear obriga
:
Pegue qualquer vetor . Como
é o escalar zero, temos
. Aplicando a propriedade de homogeneidade,
Pegue qualquer vetor
O lado esquerdo é
e o lado direito é o vetor zero (porque
vezes qualquer vetor é o vetor zero). Logo
Portanto, se encontrarmos que
, já concluímos que
não pode ser linear. Isso é um teste rápido muito usado na hora da prova.
Passo 4
Aplicando o teste ao
dado: calcule
.
Como
, pela propriedade do passo anterior concluímos imediatamente que
não é linear.
Passo 5
Para fixar bem e mostrar outro modo de ver a falha (útil na prova): verifique a homogeneidade com um exemplo concreto. Tome
e
. Então
Multiplicando por
,
Agora calcule
.
Como , a igualdade
falha neste exemplo — outra confirmação de que
não é linear.
Como
Passo 6
Comentário final didático e intuitivo (para lembrar na prova): funções com termos constantes (como o
no primeiro componente) costumam ser afins (transformações afins) e não lineares. Uma transformação linear pode sempre ser escrita como multiplicação por uma matriz sem termos constantes. Aqui podemos escrever
ou seja, é uma matriz mais um vetor constante — esse vetor constante impede linearidade.]