Seja T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma função. Decida em quais casos T é uma transformação linear:
T(x, y)=(x+3,2 y).

Passo 1

O enunciado dá a função T: \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por
T(x,y) = (x+3,\,2y).
A pergunta é: decidir se T é uma transformação linear (ou seja, se T é uma aplicação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^2).

Passo 2

Definição prática de transformação linear (lembrando passo a passo, sem pular):
Uma aplicação T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 é linear se, para quaisquer vetores u,v\in\mathbb{R}^2 e qualquer escalar c\in\mathbb{R}, valem as duas propriedades:
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
Essas duas propriedades são as que precisamos testar. Uma consequência imediata — que usamos muito em provas porque é rápida — é que toda transformação linear deve enviar o vetor zero em zero. Vou provar isso agora.

Passo 3

Prova de que uma transformação linear obriga T(0)=0:
Pegue qualquer vetor v\in\mathbb{R}^2. Como 0 é o escalar zero, temos 0\cdot v = (0,0). Aplicando a propriedade de homogeneidade,
T(0\cdot v)=0\cdot T(v).
O lado esquerdo é T(0) e o lado direito é o vetor zero (porque 0 vezes qualquer vetor é o vetor zero). Logo
T(0)=0.
Portanto, se encontrarmos que T(0)\neq 0, já concluímos que T não pode ser linear. Isso é um teste rápido muito usado na hora da prova.

Passo 4

Aplicando o teste ao T dado: calcule T(0,0).
T(0,0) = (0+3,\,2\cdot 0) = (3,\,0).
Como T(0,0)=(3,0)\neq(0,0), pela propriedade do passo anterior concluímos imediatamente que T não é linear.

Passo 5

Para fixar bem e mostrar outro modo de ver a falha (útil na prova): verifique a homogeneidade com um exemplo concreto. Tome u=(1,0) e c=2. Então
T(u) = T(1,0) = (1+3,\,0)=(4,0).
Multiplicando por c,
c\,T(u)=2\cdot(4,0)=(8,0).
Agora calcule T(cu)=T(2,0)=(2+3,\,0)=(5,0).
Como (5,0)\neq(8,0), a igualdade T(cu)=c\,T(u) falha neste exemplo — outra confirmação de que T não é linear.

Passo 6

Comentário final didático e intuitivo (para lembrar na prova): funções com termos constantes (como o +3 no primeiro componente) costumam ser afins (transformações afins) e não lineares. Uma transformação linear pode sempre ser escrita como multiplicação por uma matriz sem termos constantes. Aqui podemos escrever
T(x,y) = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3\\[2pt]0\end{pmatrix},
ou seja, é uma matriz mais um vetor constante — esse vetor constante impede linearidade.]

Resposta

T não é uma transformação linear.

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