Seja
um operador linear em V. Classifique em verdadeira ou falsa cada sentença abaixo.
a) Todo operador linear é diagonalizável.
b) Se
e
possui três autovalores distintos, então
é diagonalizável.
c) Se
e
possui dois autovalores distintos, então
não é diagonalizável.
d) Existem operadores lineares que possui apenas um autovalor e são diagonalizáveis.
e) Se o polinômio característico de
possui grau três então
.
a) Todo operador linear é diagonalizável.
b) Se
c) Se
d) Existem operadores lineares que possui apenas um autovalor e são diagonalizáveis.
e) Se o polinômio característico de
Passo 1
O enunciado pede para julgar como verdadeira ou falsa cada afirmação sobre diagonalização de um operador linear
. Vamos lembrar que um operador é diagonalizável se existe base de
formada por autovetores de
, o que acontece exatamente quando, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) é igual à multiplicidade algébrica (vezes que aparece no polinômio característico). Também usamos que o grau do polinômio característico é igual a
.
Passo 2
Sentença (a): “Todo operador linear é diagonalizável.”
Isso é falso. Em geral um operador pode ter blocos de Jordan não-triviais e não admitir base de autovetores. Exemplo clássico: em a matriz
tem único autovalor
mas não é diagonalizável.
Isso é falso. Em geral um operador pode ter blocos de Jordan não-triviais e não admitir base de autovetores. Exemplo clássico: em
Passo 3
Sentença (b): “Se
e
possui três autovalores distintos, então
é diagonalizável.”
Isso é verdadeiro, pois autovalores distintos geram autovetores linearmente independentes — logo há três autovetores em de dimensão 3, e eles formam uma base de autovetores.
Isso é verdadeiro, pois autovalores distintos geram autovetores linearmente independentes — logo há três autovetores em
Passo 4
Sentença (c): “Se
e
possui dois autovalores distintos, então
não é diagonalizável.”
Isso é falso, pois um dos autovalores pode ter multiplicidade algébrica 2 e também multiplicidade geométrica 2. Por exemplo, igual a
em
com um outro autovalor distinto em uma direção garante diagonalização mesmo com somente dois valores.
Isso é falso, pois um dos autovalores pode ter multiplicidade algébrica 2 e também multiplicidade geométrica 2. Por exemplo,
Passo 5
Sentença (d): “Existem operadores lineares que possuem apenas um autovalor e são diagonalizáveis.”
Isso é verdadeiro. Basta escolher (operador identidade vezes escalar) em qualquer
. O único autovalor é
, mas todo vetor é autovetor, então
é trivially diagonalizável.
Isso é verdadeiro. Basta escolher
Passo 6
Sentença (e): “Se o polinômio característico de
possui grau três, então
.”
Isso é verdadeiro, pois o polinômio característico de um operador em espaço de dimensão tem sempre grau
. Portanto grau três implica
.
Isso é verdadeiro, pois o polinômio característico de um operador em espaço de dimensão
Resposta
a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira