Seja T um operador linear em V. Classifique em verdadeira ou falsa cada sentença abaixo.
a) Todo operador linear é diagonalizável.
b) Se \operatorname{dim} V=3 e T possui três autovalores distintos, então T é diagonalizável.
c) Se \operatorname{dim} V=3 e T possui dois autovalores distintos, então T não é diagonalizável.
d) Existem operadores lineares que possui apenas um autovalor e são diagonalizáveis.
e) Se o polinômio característico de T possui grau três então \operatorname{dim} V=3.

Passo 1

O enunciado pede para julgar como verdadeira ou falsa cada afirmação sobre diagonalização de um operador linear T\colon V\to V. Vamos lembrar que um operador é diagonalizável se existe base de V formada por autovetores de T, o que acontece exatamente quando, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do autespaço) é igual à multiplicidade algébrica (vezes que aparece no polinômio característico). Também usamos que o grau do polinômio característico é igual a \dim V.

Passo 2

Sentença (a): “Todo operador linear é diagonalizável.”
Isso é falso. Em geral um operador pode ter blocos de Jordan não-triviais e não admitir base de autovetores. Exemplo clássico: em V=\mathbb{R}^2 a matriz \begin{pmatrix}1&1\\\ 0&1\end{pmatrix} tem único autovalor 1 mas não é diagonalizável.

Passo 3

Sentença (b): “Se \dim V=3 e T possui três autovalores distintos, então T é diagonalizável.”
Isso é verdadeiro, pois autovalores distintos geram autovetores linearmente independentes — logo há três autovetores em V de dimensão 3, e eles formam uma base de autovetores.

Passo 4

Sentença (c): “Se \dim V=3 e T possui dois autovalores distintos, então T não é diagonalizável.”
Isso é falso, pois um dos autovalores pode ter multiplicidade algébrica 2 e também multiplicidade geométrica 2. Por exemplo, T igual a I em V com um outro autovalor distinto em uma direção garante diagonalização mesmo com somente dois valores.

Passo 5

Sentença (d): “Existem operadores lineares que possuem apenas um autovalor e são diagonalizáveis.”
Isso é verdadeiro. Basta escolher T=cI (operador identidade vezes escalar) em qualquer V. O único autovalor é c, mas todo vetor é autovetor, então T é trivially diagonalizável.

Passo 6

Sentença (e): “Se o polinômio característico de T possui grau três, então \dim V=3.”
Isso é verdadeiro, pois o polinômio característico de um operador em espaço de dimensão n tem sempre grau n. Portanto grau três implica \dim V=3.

Resposta

a) Falsa
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Verdadeira
e) Verdadeira

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