1. Seja T: P_{2} \rightarrow P_{2} o operador linear definido por
T\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}\right):=a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2} .
a. Encontre a matriz de T em relação a base canônica \mathcal{C}=\left\{1, x, x^{2}\right\} de P_{2}.
b. Mostre que [T p(x)]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}[p(x)]_{\mathcal{C}}.

Passo 1

O enunciado define um operador linear
T:P_{2}\to P_{2},\quad T\bigl(a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\bigr)\;=\;a_{0}+a_{1}(x-1)+a_{2}(x-1)^{2},
e pede:
– (a) a matriz de T na base canônica \mathcal{C}=\{1,x,x^{2}\};
– (b) verificar que o vetor de coordenadas de T(p(x)) é o produto da matriz de T pelo vetor de coordenadas de p(x).
Para isso vamos usar o fato de que as colunas da matriz de um operador linear são as imagens dos vetores da base, expressas em coordenadas na mesma base.

Passo 2

Calcular as imagens de cada vetor da base canônica e escrever em termos de \{1,x,x^{2}\}.
  1. Para 1 (isto é, a_{0}=1,a_{1}=0,a_{2}=0),
T(1)=1+0\cdot(x-1)+0\cdot(x-1)^{2}=1.
Em coordenadas na base \{1,x,x^{2}\} isso dá o vetor coluna
[T(1)]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para x (isto é, a_{0}=0,a_{1}=1,a_{2}=0),
T(x)=0+1\cdot(x-1)+0\cdot(x-1)^{2}=x-1= -1\cdot1 +1\cdot x +0\cdot x^{2}.
Logo
[T(x)]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para x^{2} (isto é, a_{0}=0,a_{1}=0,a_{2}=1),
T(x^{2})=(x-1)^{2}=x^{2}-2x+1 = 1\cdot1 +(-2)\cdot x +1\cdot x^{2}.
Logo
[T(x^{2})]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos a matriz de T na base canônica usando essas colunas:
[T]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Seja um polinômio genérico
p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}.
Seu vetor de coordenadas na base \mathcal{C} é
[p(x)]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}.
Quando aplicamos T, por linearidade
T(p(x)) =a_{0}\,T(1)+a_{1}\,T(x)+a_{2}\,T(x^{2}).
Em coordenadas isso equivale a
[T(p(x))]_{\mathcal{C}} = a_{0}\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} + a_{1}\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + a_{2}\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\a_{1}\a_{2}\end{pmatrix}.
Ou seja,
[T(p(x))]_{\mathcal{C}} =[T]_{\mathcal{C}}\,[p(x)]_{\mathcal{C}}.

Resposta

(a)
[T]_{\mathcal{C}} =\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
(b) Ficou demonstrado que \bigl[T(p(x))\bigr]_{\mathcal{C}}=[T]_{\mathcal{C}}\,[p(x)]_{\mathcal{C}}.

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