Seja T: R^3 R^3 um operador linear definido por
T(1,0,0)=(1,0,0) T(0,1,0)=(0,1,0). Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um operador linear que mapeia em . Nosso objetivo é mostrar que é um isomorfismo. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como operadores lineares, isomorfismos, e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Um operador linear é uma função que satisfaz duas propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Essas propriedades garantem que a função se comporta de maneira “linear”.

Passo 3

Agora, o que é um isomorfismo? Em álgebra linear, um isomorfismo é um operador linear que é bijetivo, ou seja, é injetivo e sobrejetivo ao mesmo tempo. Isso significa que cada elemento em tem exatamente uma imagem e vice-versa. Para mostrar que é um isomorfismo, precisamos provar que é invertível.

Passo 4

Para determinar se é invertível, podemos ver se a matriz associada a é invertível. A matriz de um operador linear é construída a partir das imagens dos vetores da base canônica. No nosso caso, a base canônica de é , e .

Passo 5

Segundo o enunciado:
  • Não foi dado , então assumimos que para que seja completamente definido.

Passo 6

Com isso, a matriz associada a I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 é a matriz identidade :
A matriz identidade tem uma propriedade importante: seu determinante é 1, que é diferente de zero.

Passo 7

Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Como o determinante de é 1 ( ), concluímos que é invertível.

Passo 8

Como é invertível, isso significa que existe um operador linear tal que . Portanto, é bijetivo.

Resposta

Assim, mostramos que é um isomorfismo porque é um operador linear invertível.

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