Julgue cada ítem abaixo como verdadeiro ou falso, justificando com um argumento lógico ou com um contra-exemplo. Respostas sem justificativas não serão consideradas.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
tenha somente a solução trivial é que
.
(a) (10 pontos)( ) Uma condição necessária e suficiente para que o sistema linear
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos verificar se a condição
é necessária e suficiente para que o sistema linear
tenha apenas a solução trivial (ou seja,
). Isso envolve conceitos de matrizes, determinantes e sistemas lineares homogêneos.
Passo 2
Primeiro, lembremos que um sistema linear homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial
. A questão é determinar quando essa é a única solução.
Passo 3
Sabemos que se o determinante da matriz
for diferente de zero (
), então a matriz
é inversível. Uma matriz inversível tem a propriedade de que o único vetor
que satisfaz
é o vetor nulo, ou seja,
.
Passo 4
Portanto, se
, o sistema
tem apenas a solução trivial. Isso mostra que a condição é suficiente.
Passo 5
Além disso, para que somente a solução trivial exista, a matriz
precisa ser de posto completo, o que também implica que
. Portanto, a condição
também é necessária.
Resposta
Verdadeiro. A condição
é necessária e suficiente para que o sistema
tenha somente a solução trivial.