Seja T: R^2 R^2 tal que [T]=[rr-1 & -2 0 & 1]. Ache os vetores u, v tal que
T(v)=-v

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão pede. Temos uma transformação linear [T] = -1 & -2 0 & 1 representada pela matriz
A tarefa é encontrar vetores e tais que . Isso significa que estamos procurando por vetores que, ao serem transformados por , resultem no vetor original multiplicado por . Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente a ideia de valores e vetores próprios.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar o vetor v = x y como
T(v) = [T] cdot v = -1 & -2 0 & 1 x y = -x - 2y y
Aplicando a transformação -x - 2y y = -x -y em , temos:
Queremos que , então igualamos:

Passo 3

Agora, vamos igualar as componentes correspondentes dos vetores:
  1. Primeira componente:
- x - 2y = -x
Simplificando:
-2y = 0 implies y = 0
  1. Segunda componente:
y = -y
Como já encontramos que , essa equação também é satisfeita.

Passo 4

Com v = x 0 , , o vetor fica:
onde pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os vetores dessa forma são vetores próprios de associados ao valor próprio .

Resposta

Os vetores x 0 , e u = 1 0 e v = 2 0 que satisfazem são todos os vetores da forma
onde é um número real qualquer. Por exemplo, podemos escolher

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