Seja T: E \rightarrow F uma transformação linear:
Se E=F e os vetores T\left(v_{1}\right), \ldots, T\left(v_{n}\right) geram E, prove que v_{1}, \ldots, v_{n} geram E.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: E \to F e diz que E=F. Foi dado também um conjunto finito de vetores v_{1},\ldots,v_{n}\in E tais que os vetores T\left(v_{1}\right),\ldots,T\left(v_{n}\right) geram E. A tarefa é provar que v_{1},\ldots,v_{n} também geram E.\n\nInformações relevantes extraídas do enunciado:\n\n- T é linear.\n- E=F (ou seja, T é um endomorfismo de E).\n- \{T(v_{1}),\ldots,T(v_{n})\} gera E, isto é, \operatorname{span}\{T(v_{1}),\ldots,T(v_{n})\}=E.\n- O conjunto de imagens é finito, então E é gerado por um conjunto finito (logo E é finito-dimensional).\n\nO que precisamos mostrar: \operatorname{span}\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=E.\n\n(A resolução começa no Passo 2.)

Passo 2

Relembrando conceitos básicos de forma prática e sem mistério:\n\n- Dizer que um conjunto \{w_{1},\dots,w_{k}\} gera E significa que todo vetor x\in E pode ser escrito como combinação linear\n x = \sum_{i=1}^{k} \alpha_{i} w_{i}
para certos escalares \alpha_{i}.\n\n- A imagem (ou alcance) de T é \operatorname{Im}(T)=\{T(x)\mid x\in E\}. Se \operatorname{Im}(T)=E, dizemos que T é sobrejetora (ou “surjetora”).\n\n- O núcleo de T é \ker(T)=\{x\in E\mid T(x)=0\}. O Teorema do posto-nulidade (rank-nullity) diz, para espaços vetoriais finito-dimensionais,\n \dim(\operatorname{Im}(T)) + \dim(\ker(T)) = \dim(E).
Essas são ferramentas que vamos usar.

Passo 3

Mostro que T é sobrejetora.\n\nPelo enunciado sabemos que \operatorname{span}\{T(v_{1}),\ldots,T(v_{n})\}=E. Isso quer dizer que qualquer vetor de E é combinação linear de vetores da forma T(v_{i}), logo todo vetor de E está na imagem de T. Portanto\n \operatorname{Im}(T)=E,
isto é, T é sobrejetora.

Passo 4

Concluo que E é finito-dimensional e uso o teorema posto-nulidade para obter injetividade.\n\nComo E é gerado pelo conjunto finito \{T(v_{1}),\ldots,T(v_{n})\}, segue que E tem dimensão finita (no máximo n). Aplicando o teorema do posto-nulidade temos\n \dim(\operatorname{Im}(T)) + \dim(\ker(T)) = \dim(E).\nComo \operatorname{Im}(T)=E, temos \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(E). Substituindo na identidade acima obtém-se\n \dim(E) + \dim(\ker(T)) = \dim(E),
o que força \dim(\ker(T))=0. Logo \ker(T)=\{0\}, ou seja, T é injetora.\n\nResumo: da hipótese que as imagens geram E tiramos que T é sobrejetora; como E é finito-dimensional, isso implica que T é também injetora (ou, dito de outra forma, sobrejetora implica bijetora em endomorfismos de espaços finito-dimensionais).

Passo 5

Propriedade útil: uma transformação linear injetora satisfaz a implicação T(x)=T(y)\Rightarrow x=y. Vou usar isso diretamente no argumento final.\n\nTambém uso a propriedade de que, para qualquer subconjunto S\subset E, temos\n T\big(\operatorname{span}(S)\big)=\operatorname{span}\big(T(S)\big),
ou seja, aplicar T à combinação linear de vetores equivale a combinar linearmente as imagens. (Isso é imediato pela linearidade: T\big(\sum \alpha_i s_i\big)=\sum \alpha_i T(s_i), e toda combinação da direita vem dessa forma.)

Passo 6

Prova final passo a passo, pegando um vetor arbitrário de E e mostrando que ele é combinação linear de v_{1},\ldots,v_{n}.\n\nSeja u\in E arbitrário. Como \{T(v_{1}),\ldots,T(v_{n})\} gera E, o vetor T(u)\in E pode ser escrito como combinação linear dessas imagens; existe uma família de escalares \alpha_{1},\ldots,\alpha_{n} tal que\n T(u)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}\,T(v_{i}).\nPela linearidade de T o lado direito é T\big(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}\big). Assim temos\n T(u)=T\Big(\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}\Big).\nComo já provamos que T é injetora, da igualdade T(u)=T(w) segue u=w. Portanto\n u=\sum_{i=1}^{n}\alpha_{i}v_{i}.\nIsso mostra que u pertence a \operatorname{span}\{v_{1},\ldots,v_{n}\}. Como u foi escolhido arbitrariamente em E, concluímos que \operatorname{span}\{v_{1},\ldots,v_{n}\}=E, ou seja, v_{1},\ldots,v_{n} geram E.

Resposta

v_{1},\ldots,v_{n} geram E.

Exercícios relacionados