Seja
uma transformação linear:
Se
e os vetores
geram
, prove que
geram
.
Se
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
e diz que
. Foi dado também um conjunto finito de vetores
tais que os vetores
geram
. A tarefa é provar que
também geram
.\n\nInformações relevantes extraídas do enunciado:\n\n-
é linear.\n-
(ou seja,
é um endomorfismo de
).\n-
gera
, isto é,
.\n- O conjunto de imagens é finito, então
é gerado por um conjunto finito (logo
é finito-dimensional).\n\nO que precisamos mostrar:
.\n\n(A resolução começa no Passo 2.)
Passo 2
Relembrando conceitos básicos de forma prática e sem mistério:\n\n- Dizer que um conjunto
gera
significa que todo vetor
pode ser escrito como combinação linear\n
para certos escalares
.\n\n- A imagem (ou alcance) de
é
. Se
, dizemos que
é sobrejetora (ou “surjetora”).\n\n- O núcleo de
é
. O Teorema do posto-nulidade (rank-nullity) diz, para espaços vetoriais finito-dimensionais,\n
Essas são ferramentas que vamos usar.
Passo 3
Mostro que
é sobrejetora.\n\nPelo enunciado sabemos que
. Isso quer dizer que qualquer vetor de
é combinação linear de vetores da forma
, logo todo vetor de
está na imagem de
. Portanto\n
isto é,
é sobrejetora.
Passo 4
Concluo que
é finito-dimensional e uso o teorema posto-nulidade para obter injetividade.\n\nComo
é gerado pelo conjunto finito
, segue que
tem dimensão finita (no máximo
). Aplicando o teorema do posto-nulidade temos\n
\nComo
, temos
. Substituindo na identidade acima obtém-se\n
o que força
. Logo
, ou seja,
é injetora.\n\nResumo: da hipótese que as imagens geram
tiramos que
é sobrejetora; como
é finito-dimensional, isso implica que
é também injetora (ou, dito de outra forma, sobrejetora implica bijetora em endomorfismos de espaços finito-dimensionais).
Passo 5
Propriedade útil: uma transformação linear injetora satisfaz a implicação
. Vou usar isso diretamente no argumento final.\n\nTambém uso a propriedade de que, para qualquer subconjunto
, temos\n
ou seja, aplicar
à combinação linear de vetores equivale a combinar linearmente as imagens. (Isso é imediato pela linearidade:
, e toda combinação da direita vem dessa forma.)
Passo 6
Prova final passo a passo, pegando um vetor arbitrário de
e mostrando que ele é combinação linear de
.\n\nSeja
arbitrário. Como
gera
, o vetor
pode ser escrito como combinação linear dessas imagens; existe uma família de escalares
tal que\n
\nPela linearidade de
o lado direito é
. Assim temos\n
\nComo já provamos que
é injetora, da igualdade
segue
. Portanto\n
\nIsso mostra que
pertence a
. Como
foi escolhido arbitrariamente em
, concluímos que
, ou seja,
geram
.