Seja
[T]=\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\\\ 2 & 0 \\\\ -1 & 3 \end{array}\right)
a matriz em relaçāo às bases canônicas de uma transformaçāo linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}. Se T(v)=(2,4,-2), calcule v. Além disso, encontre v \in \mathbb{R}^{2} tal que T(v)=(-2,1,-3).

Passo 1

O enunciado dá a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 nas bases canônicas:
[T]=\begin{pmatrix} 1 & -2\\[4pt] 2 & 0\\[4pt] -1 & 3 \end{pmatrix}.
São feitas duas perguntas separadas:
  1. Encontrar v\in\mathbb{R}^2 tal que T(v)=(2,4,-2).
  2. Encontrar v\in\mathbb{R}^2 tal que T(v)=(-2,1,-3).
As informações relevantes fornecidas são: a matriz de T (acima) e os dois vetores alvo em \mathbb{R}^3.]

Passo 2

Primeiro vamos traduzir como multiplicar a matriz pelo vetor desconhecido. Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2. A multiplicação [T]v é uma combinação linear das colunas de [T]:
[T]v = x\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix}.
Ou, escrevendo componente a componente, se [T]v=\begin{pmatrix}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{pmatrix} então obtemos o sistema linear em x,y:
\begin{cases} x - 2y = b_1,\\[4pt] 2x + 0\cdot y = b_2,\\[4pt] - x + 3y = b_3. \end{cases}
Vou aplicar esse procedimento para cada vetor alvo.]

Passo 3

Resolver T(v)=(2,4,-2)\). Aqui \((b_1,b_2,b_3)=(2,4,-2)\). O sistema é \[\begin{cases} x - 2y = 2,\\[4pt] 2x = 4,\\[4pt] - x + 3y = -2. \end{cases}
Resolvendo passo a passo:
  • Da segunda equação temos 2x=4\]. Logo \[x = \dfrac{4}{2} = 2.\] - Substituindo \(x=2 na primeira equação:
2 - 2y = 2 \quad\Rightarrow\quad -2y = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 0.
  • Fazemos a verificação na terceira equação para garantir consistência:
- x + 3y = -2 \quad\Rightarrow\quad -2 + 3\cdot 0 = -2,
que é verdadeiro. Portanto o par (x,y)=(2,0) satisfaz todas as equações.]

Passo 4

Conclusão do primeiro item: existe solução e é v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}. (Já verificado por substituição.)]

Passo 5

Resolver T(v)=(-2,1,-3)\). Aqui \((b_1,b_2,b_3)=(-2,1,-3)\). O sistema é \[\begin{cases} x - 2y = -2,\\[4pt] 2x = 1,\\[4pt] - x + 3y = -3. \end{cases}
Resolvendo:
  • Da segunda equação 2x=1\] obtemos \[x = \dfrac{1}{2}.\] - Substituindo \(x=\tfrac{1}{2} na primeira equação:
\dfrac{1}{2} - 2y = -2 \quad\Rightarrow\quad -2y = -2 - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad y = \dfrac{5}{4}.
  • Agora substituímos x=\tfrac{1}{2} e y=\tfrac{5}{4} na terceira equação para verificar:
- x + 3y = -\dfrac{1}{2} + 3\cdot \dfrac{5}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{-2 + 15}{4} = \dfrac{13}{4} \neq -3.
Portanto as três equações não são satisfeitas simultaneamente: o sistema é inconsistente e não existe v\in\mathbb{R}^2 que produza (-2,1,-3).]

Passo 6

Comentário adicional (útil para prova): geometricamente as colunas de [T],
c_1=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}-2\\[2pt]0\\[2pt]3\end{pmatrix},
geram um plano em \mathbb{R}^3 (são linearmente independentes). Um vetor b está na imagem de T sse b é combinação linear de c_1 e c_2. Uma maneira rápida de testar é calcular um vetor normal n=c_1\times c_2=(6,-1,4) e verificar n\cdot b. Para b=(-2,1,-3) temos
n\cdot b = 6\cdot(-2) + (-1)\cdot 1 + 4\cdot(-3) = -12 -1 -12 = -25 \neq 0,
ou seja, b não está no plano gerado por c_1,c_2, confirmando que não há solução.]

Resposta

\;v=\begin{pmatrix}2\\[2pt]0\end{pmatrix}\nNão existe v\in\mathbb{R}^2 tal que T(v)=(-2,1,-3).]

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