a matriz em relaçāo às bases canônicas de uma transformaçāo linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}. Se T(v)=(2,4,-2), calcule v. Além disso, encontre v \in \mathbb{R}^{2} tal que T(v)=(-2,1,-3).
Passo 1
O enunciado dá a matriz da transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 nas bases canônicas:
Encontrar v\in\mathbb{R}^2 tal que T(v)=(-2,1,-3).
As informações relevantes fornecidas são: a matriz de T (acima) e os dois vetores alvo em \mathbb{R}^3.]
Passo 2
Primeiro vamos traduzir como multiplicar a matriz pelo vetor desconhecido. Seja v=\begin{pmatrix}x\\[2pt]y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2. A multiplicação [T]v é uma combinação linear das colunas de [T]:
geram um plano em \mathbb{R}^3 (são linearmente independentes). Um vetor b está na imagem de T sse b é combinação linear de c_1 e c_2. Uma maneira rápida de testar é calcular um vetor normal n=c_1\times c_2=(6,-1,4) e verificar n\cdot b. Para b=(-2,1,-3) temos