Seja 
  uma transformação linear e suponha que 
 . A notação (a) Mostre que existe um elemento não nulo 
  tal que 
 .
(b) Se 
  é uma base arbitrária de 
 , existe sempre um vetor 
  tal que 
  ? Prove ou dê um contra-exemplo.
(b) Se
Passo 1
Ok, vamos lá! Temos uma transformação linear 
  onde as dimensões dos espaços são tais que 
  e ambos são espaços finitos. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como o Teorema do Núcleo e a Teoria da Dimensão, para resolver as partes (a) e (b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, para a parte (a), queremos mostrar que existe um vetor não nulo 
  tal que 
 . Isso está relacionado ao núcleo da transformação linear 
 , que é o conjunto de todos os vetores em 
  que são mapeados para o vetor zero em 
 .
Passo 3
Segundo o Teorema do Núcleo e Imagem, sabemos que:
Onde 
  é a imagem de 
  e 
  é o núcleo de 
 .
Passo 4
Como 
  e 
 , então:
Substituindo na equação do Teorema do Núcleo e Imagem, temos:
Isso implica que 
 , ou seja, existe pelo menos um vetor no núcleo de 
  além do vetor zero.
Passo 5
Portanto, existe um vetor não nulo 
  tal que 
 . Isso conclui a parte (a).
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos saber se, para uma base arbitrária 
  de 
 , sempre existe um vetor 
  tal que 
 .
Passo 7
Vamos considerar uma base 
  de 
 . Se 
  contém pelo menos um vetor, e 
 , não necessariamente um dos vetores da base 
  estará no núcleo.
Passo 8
Para verificar isso, vamos dar um contra-exemplo. Seja 
 , 
 , e a transformação linear 
  definida por 
 .
Passo 9
Aqui, 
 . O núcleo de 
  é o conjunto de vetores 
 , que forma uma linha no plano. Se escolhermos a base 
 , vemos que 
  e 
 . Nesse caso, existe um vetor na base que está no núcleo.
Passo 10
No entanto, se escolhermos outra base, por exemplo 
 , então:
Nenhum dos vetores dessa base está no núcleo, mas o núcleo ainda existe.
Passo 11
Isso mostra que, embora o núcleo não seja vazio, não há garantia de que algum vetor de uma base arbitrária esteja no núcleo. Portanto, nem sempre existe um vetor 
  tal que 
 .
Resposta
(a) Existe um vetor não nulo 
  tal que 
 .
(b) Não, nem sempre existe um vetor da base 
  que está no núcleo de 
 . O contra-exemplo com 
  mostra que pode não haver nenhum vetor na base que seja mapeado para zero por 
 .