Seja T: V W uma transformação linear injetora entre subespaços vetoriais de dimensão finita e seja H subset V um subespaço não nulo. Prove que:
(a) dim T(H)=dim H.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos dá uma transformação linear injetora , entre subespaços vetoriais de dimensão finita. Temos também um subespaço não nulo . O que precisamos provar aqui é que a dimensão da imagem de sob é igual à dimensão de , ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma transformação linear ser injetora. Uma transformação é injetora se diferentes vetores em são mapeados para diferentes vetores em . Formalmente, se implica que . Isso garante que , ou seja, o núcleo de contém apenas o vetor zero.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a dimensão de um subespaço. A dimensão de , , é o número de vetores em uma base de . Uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram todo o subespaço.

Passo 4

Como é uma transformação linear, a imagem de sob , denotada por , também é um subespaço de . O que precisamos mostrar é que a quantidade de vetores na base de é a mesma que a quantidade de vetores na base de .

Passo 5

Vamos considerar uma base de . Seja uma base de . Como é linear e injetora, a imagem desses vetores, , será uma coleção de vetores em .

Passo 6

Precisamos mostrar que é uma base de . Para isso, temos que verificar duas coisas: se esses vetores são linearmente independentes e se eles geram .

Passo 7

Primeiro, vamos verificar a linearidade independente. Suponha que uma combinação linear desses vetores seja zero:
a1 T(v1) + a2 T(v2) + dots + an T(vn) = 0
Pelo fato de T(a1 v1 + a2 v2 + dots + an vn) = 0 ser linear, isso equivale a:
a1 v1 + a2 v2 + dots + an vn = 0
Como é injetora, o único vetor que é mapeado para zero é o vetor zero, então:
Mas como é uma base, os coeficientes devem ser todos zero. Portanto, é linearmente independente.

Passo 8

Agora, para mostrar que esses vetores geram w = T(h) = T(b1 v1 + b2 v2 + dots + bn vn) = b1 T(v1) + b2 T(v2) + dots + bn T(vn) , consideramos qualquer vetor . Isso significa que existe algum vetor tal que . Como gera , podemos escrever para alguns escalares . Aplicando :
Isso mostra que é uma combinação linear de , portanto, esses vetores geram .

Resposta

Concluímos que é uma base de e, portanto, .

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