Seja T(x, y, z)=(x+z, y+z, a^2 y+z), onde a in R.
(b) Encontre a inversa de T(x, y, z)=(x+z, y+z, 4 y+z).

Passo 1

Então, a gente tem uma transformação e precisa encontrar a inversa dessa transformação. Isso significa que queremos uma função que, ao receber , retorne os valores originais de . Para resolver isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre transformações lineares e inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar os valores transformados de x' = x + z y' = y + z z' = 4y + z . Assim, temos as seguintes equações a partir de :
Nosso objetivo é expressar em termos de .

Passo 3

Vamos começar isolando x = x' - z y = y' - z e nas primeiras duas equações:
Agora, substituímos na terceira equação.

Passo 4

Substituindo z' = 4(y' - z) + z z' = 4y' - 4z + z z' = 4y' - 3z na terceira equação:
-3z = z' - 4y' z = 4y' - z'3
Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Com x = x' - z = x' - 4y' - z'3 = 3x' - 4y' + z'3 encontrado, substituímos de volta nas expressões para y = y' - z = y' - 4y' - z'3 = 3y' - 4y' + z'3 = -y' + z'3 e :

Passo 6

Agora, juntando tudo, a transformação inversa T^-1(x', y', z') = ( 3x' - 4y' + z'3, , -y' + z'3, , 4y' - z'3 ) fica:

Resposta

A transformação inversa de T^-1(x', y', z') = ( 3x' - 4y' + z'3, , -y' + z'3, , 4y' - z'3 ) é:

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