Seja a transformação linear
e as bases
e
. Determinar a matriz
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As bases são
e
O que o problema pede: determinar a matriz
, ou seja, a matriz da transformação
com respeito à base de partida
(vetores da coluna) e à base de chegada
(coordenadas das imagens).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): para obter
fazemos o seguinte procedimento:
- Aplicar
a cada vetor da base : se é o -ésimo vetor de , calculamos . - Expressar cada
como combinação linear dos vetores de : encontrar escalares tais que
onde
e
são os vetores da base
.
- Cada coluna
da matriz é o vetor coluna formado por essas coordenadas.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.]
Passo 3
Primeiro, nomeando os vetores das bases para ficar claro:
Calculemos
usando a definição de
.
Passo 4
Calcular
.
Então a imagem do primeiro vetor da base
é
.
Passo 5
Expressar
na base
. Procuro
tais que
Igualando componentes obtemos o sistema
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
então
.
Portanto as coordenadas de
na base
são
.
(Observação: dá para ver um atalho geral — se um vetor em for
, escrevendo
resolve-se
e
. Vou usar esse atalho abaixo.)]
(Observação: dá para ver um atalho geral — se um vetor em
Passo 6
Calcular
.
Usando o atalho: para
temos
e
.
Logo as coordenadas de
em
são
.]
Passo 7
Calcular
.
Para
o atalho dá
e
.
Logo as coordenadas de
em
são
.]
Passo 8
Montagem final da matriz: as colunas da matriz
são as coordenadas encontradas, na ordem correspondente aos vetores
. Portanto