Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(2 x-y, z+3 y) e as bases \mathcal{A}= \{(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1)\} e \mathcal{B}=\{(-1,1),(0,1)\}. Determinar a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z)=(2x-y,\;z+3y).
As bases são
\mathcal{A}=\{(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1)\}
e
\mathcal{B}=\{(-1,1),(0,1)\}.
O que o problema pede: determinar a matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}, ou seja, a matriz da transformação T com respeito à base de partida \mathcal{A} (vetores da coluna) e à base de chegada \mathcal{B} (coordenadas das imagens).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): para obter [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} fazemos o seguinte procedimento:
  1. Aplicar T a cada vetor da base \mathcal{A}: se a_j é o j-ésimo vetor de \mathcal{A}, calculamos T(a_j).
  2. Expressar cada T(a_j) como combinação linear dos vetores de \mathcal{B}: encontrar escalares \alpha,\beta tais que
T(a_j)=\alpha\,b_1+\beta\,b_2,
onde b_1 e b_2 são os vetores da base \mathcal{B}.
  1. Cada coluna j da matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} é o vetor coluna \begin{pmatrix}\alpha\\[4pt]\beta\end{pmatrix} formado por essas coordenadas.
Vou aplicar esse procedimento passo a passo.]

Passo 3

Primeiro, nomeando os vetores das bases para ficar claro:
a_1=(1,0,0),\qquad a_2=(2,-1,0),\qquad a_3=(0,1,1),
b_1=(-1,1),\qquad b_2=(0,1).
Calculemos T(a_1),T(a_2),T(a_3) usando a definição de T.

Passo 4

Calcular T(a_1).
T(a_1)=T(1,0,0)=(2\cdot 1-0,\;0+3\cdot 0)=(2,0).
Então a imagem do primeiro vetor da base \mathcal{A} é (2,0).

Passo 5

Expressar T(a_1)=(2,0) na base \mathcal{B}. Procuro \alpha,\beta tais que
\alpha\,b_1+\beta\,b_2=\alpha(-1,1)+\beta(0,1)=(-\alpha,\;\alpha+\beta)=(2,0).
Igualando componentes obtemos o sistema
-\alpha=2,\qquad \alpha+\beta=0.
Da primeira equação \alpha=-2. Substituindo na segunda: -2+\beta=0 então \beta=2.
Portanto as coordenadas de T(a_1) na base \mathcal{B} são \begin{pmatrix}-2\\[4pt]2\end{pmatrix}.
(Observação: dá para ver um atalho geral — se um vetor em \mathbb{R}^2 for (u,v), escrevendo (u,v)=\alpha(-1,1)+\beta(0,1)=(-\alpha,\alpha+\beta) resolve-se \alpha=-u e \beta=v+u. Vou usar esse atalho abaixo.)]

Passo 6

Calcular T(a_2).
T(a_2)=T(2,-1,0)=(2\cdot 2-(-1),\;0+3\cdot(-1))=(4+1,\;-3)=(5,-3).
Usando o atalho: para (u,v)=(5,-3) temos \alpha=-u=-5 e \beta=v+u=-3+5=2.
Logo as coordenadas de T(a_2) em \mathcal{B} são \begin{pmatrix}-5\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular T(a_3).
T(a_3)=T(0,1,1)=(2\cdot 0-1,\;1+3\cdot 1)=(-1,\;4).
Para (u,v)=(-1,4) o atalho dá \alpha=-u=1 e \beta=v+u=4+(-1)=3.
Logo as coordenadas de T(a_3) em \mathcal{B} são \begin{pmatrix}1\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 8

Montagem final da matriz: as colunas da matriz [T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}} são as coordenadas encontradas, na ordem correspondente aos vetores a_1,a_2,a_3. Portanto
[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}=\begin{pmatrix} -2 & -5 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{A}}=\begin{pmatrix} -2 & -5 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}]

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