Seja a transformação linear T: P_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}), \quad T(p(x))=p^{\prime}(x)+p(0).
Encontre a matriz de T em relação as bases \left\{x^{2}, x, 1\right\} e \{2,1-x\}. Para cada um dos vetores p(x) em P_{3}(\mathbb{R}) a seguir, encontre as coordenadas de T(p(x)) em relação à base \{2,1-x\}.
a) x^{2}+2 x-3
b) x^{2}+1
c) 3 x
d) 4 x^{2}+2 x

Passo 1

O que o problema pede e o que nos deram:
  • Pede: encontrar a matriz de T em relação às bases \{x^{2},x,1\} (base do domínio) e \{2,\,1-x\} (base do contradomínio).
  • Pede também: para cada polinômio dado, encontrar as coordenadas de T(p(x)) relativas à base \{2,\,1-x\}.
  • Informação dada sobre a transformação: T(p(x))=p'(x)+p(0).
  • Base do domínio: \{x^{2},x,1\}.
  • Base do contradomínio: \{2,\,1-x\}.
  • Polinômios para calcular as coordenadas de T(p):
    a) x^{2}+2x-3
    b) x^{2}+1
    c) 3x
    d) 4x^{2}+2x

Passo 2

Estratégia prática para achar a matriz de T:
  • Para achar a matriz de T relativa às bases dadas, aplicamos T a cada vetor (polinômio) da base do domínio e escrevemos o resultado nas coordenadas da base do contradomínio. Cada coluna da matriz é o vetor de coordenadas de T aplicado a um vetor da base do domínio.
  • Ou seja, calcular T(x^{2}), T(x) e T(1); para cada um escrever como combinação linear de 2 e 1-x.
  • Como representar um polinômio q(x) na base \{2,\,1-x\}? Procuramos escalares a,b tais que q(x)=a\cdot 2 + b\cdot(1-x).Para achar a e b igualamos coeficientes em x e em termo constante e resolvemos o sistema linear resultante. Vou mostrar esse procedimento em cada caso.

Passo 3

Calcular T(x^{2}) e suas coordenadas na base \{2,\,1-x\}.
  • Primeiro derivada e valor em zero: (x^{2})' = 2x,\qquad (x^{2})(0)=0.Então T(x^{2})=2x.
  • Procuramos a,b tais que 2x = a\cdot 2 + b\cdot(1-x).Desenvolvendo o lado direito: a\cdot 2 + b\cdot(1-x) = 2a + b - b x.Igualando coeficientes de x e constantes: -b = 2 \quad\text{(coeficiente de \(x\))},\qquad 2a + b = 0 \quad\text{(constante)}.Da primeira equação b=-2. Substituindo na segunda: 2a + (-2) = 0 \implies 2a = 2 \implies a = 1.
  • Logo as coordenadas de T(x^{2}) na base \{2,1-x\} são \begin{pmatrix}1\\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular T(x) e suas coordenadas.
  • Derivada e valor em zero: (x)' = 1,\qquad x(0)=0.Então T(x)=1.
  • Procuramos a,b tais que 1 = 2a + b - b x.Igualando coeficientes: -b = 0 \implies b=0,\qquad 2a + b = 1 \implies 2a = 1 \implies a=\frac{1}{2}.
  • Coordenadas de T(x) na base \{2,1-x\}: \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular T(1) e suas coordenadas.
  • Derivada e valor em zero: (1)'=0,\qquad 1(0)=1.Então T(1)=1.
  • Já vimos no passo anterior como escrever 1 na base \{2,1-x\}: resulta novamente em a=\tfrac{1}{2},\,b=0.
  • Coordenadas de T(1): \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montagem da matriz de T nas bases dadas.
  • As colunas são os vetores de coordenadas de T(x^{2}),T(x),T(1), nessa ordem (porque a base do domínio foi dada como \{x^{2},x,1\}).
  • Portanto a matriz (2 linhas × 3 colunas) em relação às bases \{x^{2},x,1\} (domínio) e \{2,1-x\} (contradomínio) é \begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora: para cada polinômio dado, calcular T(p)=p'(x)+p(0) e escrever suas coordenadas na base \{2,1-x\}.
a) p(x)=x^{2}+2x-3.
  • Derivada e valor em zero: p'(x)=2x+2,\qquad p(0)=-3.Logo T(p)=2x+2-3=2x-1.
  • Procuramos a,b com 2x-1 = 2a + b - b x.Coeficientes: -b = 2 \implies b = -2,\qquad 2a + b = -1.Substituindo b=-2: 2a - 2 = -1 \implies 2a = 1 \implies a = \tfrac{1}{2}.
  • Coordenadas de T(p): \begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 8

b) p(x)=x^{2}+1.
  • Derivada e valor em zero: p'(x)=2x,\qquad p(0)=1.Logo T(p)=2x+1.
  • Procuramos a,b com 2x+1 = 2a + b - b x.Coeficientes: -b = 2 \implies b=-2,\qquad 2a + b = 1.Substituindo b=-2: 2a -2 = 1 \implies 2a = 3 \implies a = \tfrac{3}{2}.
  • Coordenadas: \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix}.]

Passo 9

c) p(x)=3x.
  • Derivada e valor em zero: p'(x)=3,\qquad p(0)=0.Logo T(p)=3.
  • Procuramos a,b com 3 = 2a + b - b x.Coeficientes: -b = 0 \implies b=0,\qquad 2a + b = 3 \implies 2a = 3 \implies a = \tfrac{3}{2}.
  • Coordenadas: \begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 10

d) p(x)=4x^{2}+2x.
  • Derivada e valor em zero: p'(x)=8x+2,\qquad p(0)=0.Logo T(p)=8x+2.
  • Procuramos a,b com 8x+2 = 2a + b - b x.Coeficientes: -b = 8 \implies b = -8,\qquad 2a + b = 2.Substituindo b=-8: 2a -8 = 2 \implies 2a = 10 \implies a = 5.
  • Coordenadas: \begin{pmatrix}5\\[2pt]-8\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} \\[6pt] -2 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]-2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\tfrac{3}{2}\\[2pt]0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}5\\[2pt]-8\end{pmatrix}]

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