Seja a transformação linear
, tal que
Assinale V (verdadeiro) ou F(falso), justifique sua resposta.
a)
b)
c)
d) ( ) T é injetora
e) ( )
é sobrejetora
a)
b)
c)
d) ( ) T é injetora
e) ( )
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
As afirmações que devemos avaliar (marcar V ou F) são:
a)
b)
c)
d) é injetora
e) é sobrejetora
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Verificação direta do item (a). Para calcular
substitui-se
e
na fórmula:
A afirmação (a) diz que o terceiro componente seria
, mas o cálculo mostrou que é
. Portanto (a) é Falso.
Passo 3
Definição útil: o núcleo (núcleo ou núcleo/ker) de
é
Para encontrar
resolve-se o sistema obtido igualando cada componente a zero:
Da primeira equação vem
. Da segunda vem
. A terceira fica
, que é satisfeita. Logo a única solução é
. Portanto
Assim (b) é Verdadeiro.
Passo 4
Explicação sobre imagem e como calculá-la: a imagem de
é o subespaço de
gerado pelos vetores
aplicados à base canônica de
. Calculemos:
Logo
Para saber a dimensão da imagem, verificamos se esses dois vetores são linearmente independentes. Suponha que existam
tais que
Isso dá o sistema
Daí
e
. São linearmente independentes, portanto formam uma base de
e
Passo 5
Interpretação do resultado do passo anterior para responder (c). A afirmação (c) diz que
. Isso está incorreto por dois motivos:
- A imagem é um subespaço de
, não de ; igualdade entre subespaços de espaços diferentes não faz sentido. - Concretamente,
é um subespaço de dimensão dentro de ; não é igual a (que é um espaço diferente). Portanto (c) é Falso.
Passo 6
Condição de injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, o núcleo é
. Já encontramos em
Passo 7
Comentário extra (útil para prova): pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) para transformações lineares de
em
vale
Aqui
e
, consistente com injetividade e posto
.
Passo 8
Sobrejetividade (ser sobrejetora):
é sobrejetora se
. Mas já vimos que
, enquanto
. Um subespaço de dimensão
não pode ser igual a
. Portanto
não é sobrejetora. Assim (e) é Falso.
Resposta
a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
b) V
c) F
d) V
e) F