Seja a transformação linear T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, tal que T(x, y)=(3 x,-2 y, x-y) Assinale V (verdadeiro) ou F(falso), justifique sua resposta.
a) (\quad) T(-1,1)=(-3,-2,0)
b) (\quad) N(T)=\{(0,0)\}
c) (\quad) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}
d) ( ) T é injetora
e) ( ) T é sobrejetora

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(3x,\,-2y,\,x-y).
As afirmações que devemos avaliar (marcar V ou F) são:
a) T(-1,1)=(-3,-2,0)
b) N(T)=\{(0,0)\}
c) \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^{2}
d) T é injetora
e) T é sobrejetora

Passo 2

Verificação direta do item (a). Para calcular T(-1,1) substitui-se x=-1 e y=1 na fórmula:
T(-1,1)=(3\cdot(-1),\,-2\cdot 1,\,-1-1)=(-3,\,-2,\,-2).
A afirmação (a) diz que o terceiro componente seria 0, mas o cálculo mostrou que é -2. Portanto (a) é Falso.

Passo 3

Definição útil: o núcleo (núcleo ou núcleo/ker) de T é
N(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
Para encontrar N(T) resolve-se o sistema obtido igualando cada componente a zero:
3x=0,\qquad -2y=0,\qquad x-y=0.
Da primeira equação vem x=0. Da segunda vem y=0. A terceira fica 0-0=0, que é satisfeita. Logo a única solução é (x,y)=(0,0). Portanto
N(T)=\{(0,0)\}.
Assim (b) é Verdadeiro.

Passo 4

Explicação sobre imagem e como calculá-la: a imagem de T é o subespaço de \mathbb{R}^3 gerado pelos vetores T aplicados à base canônica de \mathbb{R}^2. Calculemos:
T(1,0)=(3,0,1),\qquad T(0,1)=(0,-2,-1).
Logo
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(3,0,1),\,(0,-2,-1)\}.
Para saber a dimensão da imagem, verificamos se esses dois vetores são linearmente independentes. Suponha que existam \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
\alpha(3,0,1)+\beta(0,-2,-1)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
3\alpha=0,\quad -2\beta=0,\quad \alpha-\beta=0.
Daí \alpha=0 e \beta=0. São linearmente independentes, portanto formam uma base de \operatorname{Im}(T) e
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.

Passo 5

Interpretação do resultado do passo anterior para responder (c). A afirmação (c) diz que \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Isso está incorreto por dois motivos:
  • A imagem é um subespaço de \mathbb{R}^3, não de \mathbb{R}^2; igualdade entre subespaços de espaços diferentes não faz sentido.
  • Concretamente, \operatorname{Im}(T) é um subespaço de dimensão 2 dentro de \mathbb{R}^3; não é igual a \mathbb{R}^2 (que é um espaço diferente). Portanto (c) é Falso.

Passo 6

Condição de injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, o núcleo é \{(0,0)\}. Já encontramos em

Passo 7

Comentário extra (útil para prova): pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity) para transformações lineares de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3 vale
\dim(\mathbb{R}^2)=\dim(N(T))+\dim(\operatorname{Im}(T)).
Aqui \dim(N(T))=0 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2, consistente com injetividade e posto 2.

Passo 8

Sobrejetividade (ser sobrejetora): T é sobrejetora se \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^3. Mas já vimos que \dim(\operatorname{Im}(T))=2, enquanto \dim(\mathbb{R}^3)=3. Um subespaço de dimensão 2 não pode ser igual a \mathbb{R}^3. Portanto T não é sobrejetora. Assim (e) é Falso.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V
e) F

Exercícios relacionados