Seja a transformação linear 
  dada por
  verifique se existe algum vetor do domínio que possui como imagem o vetor nulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se existe algum vetor em 
  que, ao aplicar a transformação linear 
 , resulta no vetor nulo em 
 . Vamos precisar entender o que é uma transformação linear e como resolver equações lineares para achar esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação linear 
 . Ela pega um vetor de três componentes, 
 , e transforma em um vetor de duas componentes:
Queremos encontrar um vetor 
  tal que 
 . Isso significa resolver as seguintes equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar os valores de 
 , 
  e 
 . Observamos que a segunda equação é simplesmente o dobro da primeira com sinal invertido:
Isso significa que as duas equações são dependentes, ou seja, representam a mesma condição. Então, realmente, temos apenas uma equação para três incógnitas:
Passo 4
Como temos mais variáveis do que equações, podemos expressar algumas variáveis em função de outras. Vamos resolver para 
 :
Isso significa que, para qualquer valor que escolhamos para 
  e 
 , podemos encontrar 
  que satisfaz a equação. Portanto, existem infinitos vetores em 
  que são mapeados para o vetor nulo em 
  pela transformação 
 .
Resposta
Sim, existem vetores não nulos em 
  que, ao serem transformados por 
 , resultam no vetor nulo. Esses vetores são da forma 
 , onde 
  e 
  são quaisquer números reais.