Seja um transformador monofásico com as seguintes características:
  • Número de espiras do primário igual a 500;
  • Número de espiras do secundário igual a 250 ;
  • Tensão nominal de primário: 440 V (valor eficaz);
  • Potência nominal: 5 kVA ;
  • Frequência nominal: 50 Hz .
Assumindo que este transformador por ser considerado ideal, determinar:
a) A tensão nominal de secundário (valor eficaz);
b) A corrente nominal do primário (valor eficaz);
c) A corrente nominal do secundário (valor eficaz);
d) Qual dos enrolamentos apresenta maior bitola? Justifique.
e) Suponha que o primário do transformador é alimentado por uma fonte com tensão V_{1}=440 \angle 0^{\circ}. Uma carga RL série com resistência igual a 40 \Omega e indutância igual a 100 mH é conectada ao secundário deste transformador. Determinar o valor eficaz e o ângulo da corrente do primário nesta situação.

Passo 1

Listando claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Número de espiras do primário: N_{1}=500.
  • Número de espiras do secundário: N_{2}=250.
  • Tensão nominal do primário (valor eficaz): V_{1}=440\\ \text{V}.
  • Potência nominal aparente: S_{\text{nom}}=5\\ \text{kVA}=5000\\ \text{VA}.
  • Frequência: f=50\\ \text{Hz}.
  • No item (e): fonte aplicada ao primário V_{1}=440\angle 0^{\circ}\\ \text{V} (valor eficaz, fase 0) e carga no secundário RL série com R=40\\ \Omega e L=100\\ \text{mH}=0{,}1\\ \text{H}.
Perguntas:
(a) Determinar a tensão nominal do secundário (valor eficaz).
(b) Determinar a corrente nominal do primário (valor eficaz).
(c) Determinar a corrente nominal do secundário (valor eficaz).
(d) Qual enrolamento apresenta maior bitola? Justificar.
(e) Com V_{1}=440\angle 0^{\circ} e a carga RL no secundário, determinar o valor eficaz e o ângulo da corrente do primário (ou seja, o fasor I_{1} em módulo e ângulo).

Passo 2

Conceitos e relações principais para transformador ideal (aula rápida e concreta).
  • Para um transformador ideal, a relação de tensão é proporcional ao número de espiras:
\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{N_{1}}{N_{2}}.
Aqui V_{1} é a tensão no primário (valor eficaz, fasor) e V_{2} é a tensão no secundário (valor eficaz, fasor). N_{1},N_{2} são números de espiras.
  • Para um transformador ideal também se conserva potência aparente sem perdas:
V_{1}I_{1}=V_{2}I_{2},
onde I_{1},I_{2} são as correntes (valores eficazes, fasores) nos enrolamentos. Dessa relação decorre a transformação de correntes:
\frac{I_{1}}{I_{2}}=\frac{N_{2}}{N_{1}}.
  • A impedância refletida e o comportamento fasorial seguem estas mesmas relações (mas aqui só precisamos das relações acima).
Vamos aplicar essas fórmulas ao problema.

Passo 3

Cálculo do item (a): tensão nominal do secundário.
Calcule a razão de espiras:
a=\frac{N_{1}}{N_{2}}=\frac{500}{250}=2.
Usando \dfrac{V_{1}}{V_{2}}=a, temos
V_{2}=\frac{V_{1}}{a}=\frac{440}{2}=220\\ \text{V}.
Portanto a tensão nominal do secundário é 220\\ \text{V} (valor eficaz).

Passo 4

Cálculo dos itens (b) e (c): correntes nominais a partir da potência aparente.
A potência aparente nominal é S_{\text{nom}}=5000\\ \text{VA}. Para o primário:
I_{1,\text{nom}}=\frac{S_{\text{nom}}}{V_{1}}=\frac{5000}{440}.
Fazendo a divisão:
\frac{5000}{440}=\frac{500}{44}=\frac{125}{11}\approx11{,}3636\\ \text{A}.
Arredondando razoavelmente:
I_{1,\text{nom}}\approx11{,}36\\ \text{A}.
Para o secundário, podemos usar V_{2}=220\\ \text{V}:
I_{2,\text{nom}}=\frac{S_{\text{nom}}}{V_{2}}=\frac{5000}{220}=\frac{2500}{110}=\frac{250}{11}\approx22{,}7273\\ \text{A},
portanto
I_{2,\text{nom}}\approx22{,}73\\ \text{A}.
(Conferência pela relação de transformação de correntes: I_{1}= (N_{2}/N_{1}) I_{2} = 0{,}5\cdot I_{2}, e 22{,}73\cdot0{,}5\approx11{,}365, consistente.)

Passo 5

Resposta didática para o item (d): qual enrolamento deve ter maior bitola e por quê.
Explicação pedagógica simples:
  • “Bitola” do fio significa área da seção transversal do condutor. Em projetar enrolamentos, a bitola é escolhida para que a densidade de corrente (A/mm^2) fique dentro de limites seguros e para evitar aquecimento excessivo.
  • Como o enrolamento que carrega maior corrente precisa de mais seção, o enrolamento com maior corrente nominal exige maior bitola.
    No nosso caso I_{2,\text{nom}}\approx22{,}73\\ \text{A} e I_{1,\text{nom}}\approx11{,}36\\ \text{A}. Logo o secundário conduz corrente aproximadamente o dobro da do primário, então o enrolamento secundário deve ter maior bitola (fio mais grosso). Observação prática: normalmente enrolamento de baixa tensão tem mais corrente e, portanto, fios mais grossos; enrolamento de alta tensão tem mais espiras, fios mais finos.

Passo 6

Preparação para o item (e): relação de fases e impedância da carga RL (aula curta sobre fasores).
  • A indutância apresenta reatância X_{L}=\omega L, com \omega=2\pi f.
  • A impedância da carga RL série é:
Z_{\text{load}}=R+j\omega L.
  • Se o secundário tem tensão fasorial V_{2} (obtida pelo transformador ideal), a corrente do secundário é
I_{2}=\frac{V_{2}}{Z_{\text{load}}}.
  • A corrente do primário (no transformador ideal) é relacionada por
I_{1}=\frac{N_{2}}{N_{1}}\,I_{2}=\frac{V_{2}}{V_{1}}\,I_{2}.
  • Ao dividir fasores em magnitude/fase, a magnitude do quociente é quociente das magnitudes e o ângulo é a diferença dos ângulos.
Agora aplicamos numericamente.

Passo 7

Cálculo numérico para o item (e) — impedância da carga e corrente no secundário.
Primeiro calcule \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot50=100\pi\approx314{,}16\\ \text{rad/s}.
Reatância indutiva:
X_{L}=\omega L=314{,}16\cdot0{,}1=31{,}416\\ \Omega.
Logo a impedância da carga é
Z_{\text{load}}=40+j31{,}416\\ \Omega.
Magnitude e ângulo de Z_{\text{load}}:
|Z_{\text{load}}|=\sqrt{40^{2}+31{,}416^{2}}=\sqrt{1600+986{,}960}\approx50{,}856\\ \Omega,
\angle Z_{\text{load}}=\arctan\!\left(\frac{31{,}416}{40}\right)\approx0{,}66577\\ \text{rad}\approx38{,}16^{\circ}.
Como o transformador é ideal, o secundário terá tensão fasorial (obtida antes)
V_{2}=220\angle 0^{\circ}\\ \text{V}.
Logo a corrente do secundário é
I_{2}=\frac{V_{2}}{Z_{\text{load}}}=\frac{220\angle 0^{\circ}}{50{,}856\angle 38{,}16^{\circ}}.
Então magnitude e ângulo são
|I_{2}|=\frac{220}{50{,}856}\approx4{,}3269\\ \text{A}, \qquad \angle I_{2}=0^{\circ}-38{,}16^{\circ}=-38{,}16^{\circ}.
Portanto
I_{2}\approx4{,}327\angle -38{,}16^{\circ}\\ \text{A}.

Passo 8

Cálculo da corrente do primário para o item (e).
Usando a relação de transformação de correntes (ideal):
I_{1}=\frac{N_{2}}{N_{1}}\,I_{2}=\frac{250}{500}\,I_{2}=0{,}5\,I_{2}.
Portanto
|I_{1}|=0{,}5\cdot|I_{2}|=0{,}5\cdot4{,}3269\approx2{,}1635\\ \text{A},
e o ângulo mantém-se o mesmo (transformador ideal não altera a defasagem entre tensão e corrente do circuito de carga, apenas escala magnitudes):
\angle I_{1}=\angle I_{2}=-38{,}16^{\circ}.
Logo o fasor da corrente do primário é aproximadamente
I_{1}\approx2{,}164\angle -38{,}16^{\circ}\\ \text{A}.

Resposta

(a) V_{2}=220\\ \text{V} (valor eficaz)
(b) I_{1,\text{nom}} \approx 11{,}36\\ \text{A} (valor eficaz)
(c) I_{2,\text{nom}} \approx 22{,}73\\ \text{A} (valor eficaz)
(d) Enrolamento com maior bitola: o secundário — porque conduz corrente maior ( \approx22{,}73\\ \text{A}) e, portanto, requer fio de seção maior para limitar a densidade de corrente e aquecimento.
(e) Corrente do primário com V_{1}=440\angle 0^{\circ}: I_{1}\approx2{,}164\angle -38{,}16^{\circ}\\ \text{A} (valor eficaz, módulo e ângulo).

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