Calcule la máxima rapidez de bits para una señal FSK con 102 kHz de frecuencia de marca, 104 kHz de frecuencia de espacio y 8 kHz de ancho de banda disponible.

Passo 1

O enunciado pede a máxima rapidez de bits (taxa de bits máxima) para uma sinalização FSK, dadas as seguintes informações:
  • Frequência de marca: f_{\text{m}} = 102\\ \text{kHz}.
  • Frequência de espaço: f_{\text{s}} = 104\\ \text{kHz}.
  • Largura de banda disponível do canal: \text{BW}_{\text{disp}} = 8\\ \text{kHz}.
A pergunta é: qual é a maior taxa de bits R_b (em kbit/s) que se pode usar respeitando as limitações impostas pelas frequências e pela largura de banda disponível?

Passo 2

Primeiro vamos definir quantidades importantes e extrair dados do enunciado.
  • Diferença entre as duas frequências (separação entre tons):
\Delta f = f_{\text{s}} - f_{\text{m}} = 104\\ \text{kHz} - 102\\ \text{kHz} = 2\\ \text{kHz}.
  • Taxa de bits: R_b (em Hz ou kHz).
  • Duração de bit: T = 1/R_b.
Vou usar duas restrições típicas que limitam R_b em FSK:
  1. Condição de ortogonalidade (para BFSK ortogonal).
  2. Restrição de largura de banda (aproximação de Carson para FSK/FM).

Passo 3

Condição de ortogonalidade para BFSK (explicação e fórmula).
  • Em BFSK binário, os dois tons são ortogonais sobre o intervalo do símbolo se a diferença de fase acumulada entre eles ao longo de um bit for um múltiplo ímpar de \pi/2. Matematicamente, a condição mínima de ortogonalidade (caso básico n=0) é:
(f_{\text{s}}-f_{\text{m}})\,T = \tfrac{1}{2}.
  • Substituindo T = 1/R_b, obtemos:
(f_{\text{s}}-f_{\text{m}})\,\frac{1}{R_b} = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad R_b = 2(f_{\text{s}}-f_{\text{m}}).
  • Ou seja, para ortogonalidade mínima:
R_{b,\text{ort}} = 2\Delta f.
  • Com \Delta f = 2\\ \text{kHz}:
R_{b,\text{ort}} = 2\times 2\\ \text{kHz} = 4\\ \text{kHz} = 4\\ \text{kbit/s}.
Interpretação: se quisermos símbolos ortogonais (facilitando detecção sem interferência entre símbolos), a taxa máxima é 4\\ \text{kbit/s}.

Passo 4

Restrição de largura de banda (Carson aproximação adaptada a FSK).
  • Para sinais FSK tratados como FM de desvio finito, uma aproximação prática da largura de banda ocupada é (regra de Carson adaptada):
\text{BW} \approx 2\bigl(\Delta f_{\text{dev}} + f_{\text{m}}\bigr),
onde \Delta f_{\text{dev}} é o desvio de frequência (meia-separação dos tons) e f_{\text{m}} é a máxima frequência presente no sinal modulador.
  • Para BFSK com tons f_{\text{s}} e f_{\text{m}}:
\Delta f_{\text{dev}} = \frac{f_{\text{s}}-f_{\text{m}}}{2} = \frac{\Delta f}{2}.
  • A componente moduladora de maior frequência para um fluxo de bits NRZ pode ser aproximada por f_{\text{mód}} \approx R_b/2ó (a componente fundamental do pulso de bit tem frequência proporcional a 1/T; esta é uma aproximação prática usada para estimativas de BW).
  • Substituindo:
\text{BW} \approx 2\Bigl(\frac{\Delta f}{2} + \frac{R_b}{2}\Bigr) = \Delta f + R_b.
  • Impor que essa banda esteja dentro da disponível:
\Delta f + R_b \le \text{BW}_{\text{disp}}.
  • Com \Delta f = 2\\ \text{kHz} e \text{BW}_{\text{disp}}=8\\ \text{kHz}:
2\\ \text{kHz} + R_b \le 8\\ \text{kHz} \quad\Rightarrow\quad R_b \le 6\\ \text{kHz} = 6\\ \text{kbit/s}.
Interpretação: pela limitação de banda, poderia chegar até 6\\ \text{kbit/s} sem considerar a ortogonalidade.

Passo 5

Comparação das duas restrições e escolha da taxa máxima viável.
  • Da ortogonalidade obtemos R_{b,\text{ort}} = 4\\ \text{kbit/s}.
  • Da largura de banda obtemos R_{b,\text{BW}} = 6\\ \text{kbit/s}.
  • A taxa máxima permissível é a menor das duas (a restrição mais apertada): portanto
R_{b,\max} = 4\\ \text{kbit/s}.
Comentário sobre método: escolhi a condição de ortogonalidade porque normalmente, para BFSK binário clássico, garante-se baixa interferência entre símbolos e é um requisito prático para detecção simples. A restrição de largura de banda foi avaliada com a aproximação de Carson; se aceitasse sinais não ortogonais e detectores mais sofisticados, poderia ser possível explorar taxas maiores, mas isso foge ao cenário padrão e geralmente aumenta complexidade e taxa de erro.

Passo 6

Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
  • Calcule a separação \Delta f.
  • Ortogonalidade mínima dá R_b \le 2\Delta f.
  • Largura de banda aproximada para FSK: \text{BW}\approx \Delta f + R_b (daqui R_b \le \text{BW}_{\text{disp}} - \Delta f).
  • A resposta final é a menor das duas cotas.

Resposta

4\\ \text{kbit/s}

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