Calcule la máxima rapidez de bits para una señal FSK con 102 kHz de frecuencia de marca, 104 kHz de frecuencia de espacio y 8 kHz de ancho de banda disponible.
Passo 1
O enunciado pede a máxima rapidez de bits (taxa de bits máxima) para uma sinalização FSK, dadas as seguintes informações:
- Frequência de marca:
. - Frequência de espaço:
. - Largura de banda disponível do canal:
.
A pergunta é: qual é a maior taxa de bits
(em kbit/s) que se pode usar respeitando as limitações impostas pelas frequências e pela largura de banda disponível?
Passo 2
Primeiro vamos definir quantidades importantes e extrair dados do enunciado.
- Diferença entre as duas frequências (separação entre tons):
- Taxa de bits:
(em Hz ou kHz). - Duração de bit:
.
Vou usar duas restrições típicas que limitam
em FSK:
- Condição de ortogonalidade (para BFSK ortogonal).
- Restrição de largura de banda (aproximação de Carson para FSK/FM).
Passo 3
Condição de ortogonalidade para BFSK (explicação e fórmula).
- Em BFSK binário, os dois tons são ortogonais sobre o intervalo do símbolo se a diferença de fase acumulada entre eles ao longo de um bit for um múltiplo ímpar de
. Matematicamente, a condição mínima de ortogonalidade (caso básico ) é:
- Substituindo
, obtemos:
- Ou seja, para ortogonalidade mínima:
- Com
:
Interpretação: se quisermos símbolos ortogonais (facilitando detecção sem interferência entre símbolos), a taxa máxima é
.
Passo 4
Restrição de largura de banda (Carson aproximação adaptada a FSK).
- Para sinais FSK tratados como FM de desvio finito, uma aproximação prática da largura de banda ocupada é (regra de Carson adaptada):
onde
é o desvio de frequência (meia-separação dos tons) e
é a máxima frequência presente no sinal modulador.
- Para BFSK com tons
e :
- A componente moduladora de maior frequência para um fluxo de bits NRZ pode ser aproximada por
(a componente fundamental do pulso de bit tem frequência proporcional a ; esta é uma aproximação prática usada para estimativas de BW). - Substituindo:
- Impor que essa banda esteja dentro da disponível:
- Com
e :
Interpretação: pela limitação de banda, poderia chegar até
sem considerar a ortogonalidade.
Passo 5
Comparação das duas restrições e escolha da taxa máxima viável.
- Da ortogonalidade obtemos
. - Da largura de banda obtemos
. - A taxa máxima permissível é a menor das duas (a restrição mais apertada): portanto
Comentário sobre método: escolhi a condição de ortogonalidade porque normalmente, para BFSK binário clássico, garante-se baixa interferência entre símbolos e é um requisito prático para detecção simples. A restrição de largura de banda foi avaliada com a aproximação de Carson; se aceitasse sinais não ortogonais e detectores mais sofisticados, poderia ser possível explorar taxas maiores, mas isso foge ao cenário padrão e geralmente aumenta complexidade e taxa de erro.
Passo 6
Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
- Calcule a separação
. - Ortogonalidade mínima dá
. - Largura de banda aproximada para FSK:
(daqui ). - A resposta final é a menor das duas cotas.