Seja
o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em
por
é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto
que é formado por todos os pares ordenados de números reais, ou seja,
onde
e
são números reais. Definimos duas operações nesse conjunto:
- Adição:
- Multiplicação por escalar:
A pergunta é: será que
com essas operações forma um espaço vetorial? Para responder, vamos lembrar dos axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.
Passo 2
Primeiro, um espaço vetorial deve satisfazer as oito propriedades básicas dos vetores. Vamos conferir cada uma com as operações definidas:
-
Comutatividade da adição:Aqui,
, que é igual a . Então, essa propriedade é satisfeita. -
Associatividade da adição:Calculando ambos os lados, vemos que a soma dos pares ordenados é associativa, então essa também é satisfeita.
-
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero
tal que Claro, somar zero aos componentes não muda o vetor, então o vetor zero existe. -
Inverso aditivo: Para cada vetor
, existe tal que O inverso seria, que ao ser somado a dá .
Passo 3
Agora, vamos verificar as propriedades relacionadas à multiplicação por escalar:
-
Compatibilidade da multiplicação por escalares:Vamos calcular:Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
-
Elemento neutro da multiplicação por escalar:Calculando:Portanto, o elemento neutro funciona.
Passo 4
Continuando com as últimas propriedades:
-
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial:Calculando:Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
-
Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares:Calculando:Aqui, percebemos que
resulta em , enquanto dá . Esses dois não são iguais a menos que para todo vetor, o que não é o caso geral.
Resposta
Não,
com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a propriedade distributiva da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.