Seja V o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Definamos a adição e a multiplicação por escalar em V por
(x1, x2) oplus(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2) alpha odot(x1, x2)=(alpha x1, x2)
V é um espaço vetorial com estas operações? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos primeiro entender o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto que é formado por todos os pares ordenados de números reais, ou seja, onde e são números reais. Definimos duas operações nesse conjunto:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
A pergunta é: será que com essas operações forma um espaço vetorial? Para responder, vamos lembrar dos axiomas de um espaço vetorial e verificar se eles são satisfeitos com essas operações.

Passo 2

Primeiro, um espaço vetorial deve satisfazer as oito propriedades básicas dos vetores. Vamos conferir cada uma com as operações definidas:
  1. Comutatividade da adição:
    Aqui, , que é igual a . Então, essa propriedade é satisfeita.
  2. Associatividade da adição:
    Calculando ambos os lados, vemos que a soma dos pares ordenados é associativa, então essa também é satisfeita.
  3. Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
    Claro, somar zero aos componentes não muda o vetor, então o vetor zero existe.
  4. Inverso aditivo: Para cada vetor , existe tal que
    O inverso seria , que ao ser somado a .

Passo 3

Agora, vamos verificar as propriedades relacionadas à multiplicação por escalar:
  1. Compatibilidade da multiplicação por escalares: alpha odot (beta odot (x1, x2)) = alpha odot (beta x1, x2) = (alpha (beta x1), x2) = (alpha beta x1, x2)
    Vamos calcular:
    (alpha beta) odot (x1, x2) = ((alpha beta) x1, x2)
    1 odot (x1, x2) = (1 cdot x1, x2) = (x1, x2)
    Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
  2. Elemento neutro da multiplicação por escalar:
    Calculando:
    Portanto, o elemento neutro funciona.

Passo 4

Continuando com as últimas propriedades:
  1. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição vetorial: alpha odot ((x1, x2) oplus (y1, y2)) = alpha odot (x1 + y1, x2 + y2) = (alpha (x1 + y1), x2 + y2)
    Calculando:
    alpha odot (x1, x2) oplus alpha odot (y1, y2) = (alpha x1, x2) oplus (alpha y1, y2) = (alpha x1 + alpha y1, x2 + y2)
    (alpha + beta) odot (x1, x2) = ((alpha + beta) x1, x2)
    Os dois lados são iguais, então essa propriedade é satisfeita.
  2. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares: alpha odot (x1, x2) oplus beta odot (x1, x2) = (alpha x1, x2) oplus (beta x1, x2) = (alpha x1 + beta x1, x2 + x2) = ((alpha + beta) x1, 2x2)
    Calculando:
    Aqui, percebemos que resulta em , enquanto . Esses dois não são iguais a menos que para todo vetor, o que não é o caso geral.

Resposta

Não, com as operações definidas não é um espaço vetorial, pois a propriedade distributiva da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares não é satisfeita.

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