Seja
um espaço euclidiano. Prove as seguintes afirmações:
(e)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, num espaço euclidiano
, para quaisquer vetores
e
, vale que:
Esse é o famoso Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é super importante na álgebra linear e análise. Para provar isso, vamos precisar entender conceitos como produto interno (
) e norma (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor
é definida como:
E o produto interno
basicamente mede “quanto” dois vetores
e
estão alinhados.
Passo 3
Agora, para provar a desigualdade, vamos considerar um vetor linearmente dependente. Vamos olhar para o vetor
, onde
é um escalar que vamos determinar.
Queremos que
seja ortogonal a
, ou seja,
. Então:
Isso nos dá:
Passo 4
Resolvendo para
:
Então, substituindo
de volta no vetor
:
Passo 5
Como
é um vetor, sua norma deve ser não negativa. Então:
Calculando
:
Passo 6
Rearranjando a desigualdade:
O que leva a:
Passo 7
Finalmente, tirando a raiz quadrada dos dois lados:
Resposta
Portanto, mostramos que
para quaisquer vetores
e
em um espaço euclidiano
.