Seja T: R^3 R^3 uma transformação linear cuja representação matricial é
[lll 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ]
Determine os autovalores de T e autovetores associados;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Autovalores são números que mostram como a transformação “escala” os vetores, e autovetores são os vetores que só são escalados, sem mudar de direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz da transformação, representa os autovalores, e é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 0 - lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & 0 - lambda = -lambda & 0 & 1 0 & 1 - lambda & 0 1 & 0 & -lambda :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-lambda) cdot det 1 - lambda & 0 0 & -lambda - 0 cdot det 0 & 0 1 & -lambda + 1 cdot det 0 & 1 - lambda 1 & 0
Calculando cada determinante menor:
det 1 - lambda & 0 0 & -lambda = (1 - lambda)(-lambda) = -lambda(1 - lambda)
det 0 & 1 - lambda 1 & 0 = 0 cdot 0 - (1 - lambda) cdot 1 = -(1 - lambda)
Substituindo de volta:
det(A - lambda I) = (-lambda)(-lambda(1 - lambda)) + 0 + 1 cdot (-(1 - lambda)) = lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda)

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
lambda^2(1 - lambda) - (1 - lambda) = (1 - lambda)(lambda^2 - 1) = (1 - lambda)(lambda - 1)(lambda + 1) = -(1 - lambda)^2(lambda + 1)
Igualando a zero:
-(1 - lambda)^2(lambda + 1) = 0
Portanto, os autovalores são:
lambda = 1 (com mu

Passo 6

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com (A - I)x = 0 . Precisamos resolver:
-1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 x y z = 0 0 0
Substituindo x = t s t , t, s in R :
[


]
Das equações, temos e , que implicam . pode ser qualquer valor. Então, os autovetores são da forma:

Passo 7

Agora, para (A + I)x = 0 , resolvemos:
1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 x y z = 0 0 0
Substituindo x = t 0 -t , t in R :
[


]
Das equações, temos e , o que nos dá e . Então, os autovetores são da forma:

Resposta

Os autovalores de t s t , t, s in R são t 0 -t , t in R (com multiplicidade 2) e .
Os autovetores associados a são todos os vetores da forma:
E os autovetores associados a são todos os vetores da forma:

Exercícios relacionados