Seja uma transformação linear cuja representação matricial é
Determine os autovalores de T e autovetores associados;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma transformação linear representada por uma matriz. Nosso objetivo é encontrar os autovalores e autovetores dessa transformação. Autovalores são números que mostram como a transformação “escala” os vetores, e autovetores são os vetores que só são escalados, sem mudar de direção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica, que é dada por:
onde é a matriz da transformação, representa os autovalores, e é a matriz identidade.
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Começamos com (A - I)x = 0 . Precisamos resolver: -1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & -1 x y z = 0 0 0
Substituindo x = t s t , t, s in R :
[
]
Das equações, temos e , que implicam . pode ser qualquer valor. Então, os autovetores são da forma:
Passo 7
Agora, para (A + I)x = 0 , resolvemos: 1 & 0 & 1 0 & 2 & 0 1 & 0 & 1 x y z = 0 0 0
Substituindo x = t 0 -t , t in R :
[
]
Das equações, temos e , o que nos dá e . Então, os autovetores são da forma:
Resposta
Os autovalores de t s t , t, s in R são t 0 -t , t in R (com multiplicidade 2) e .
Os autovetores associados a são todos os vetores da forma:
E os autovetores associados a são todos os vetores da forma: