Seja
um espaço vetorial de dimensão de finita sobre um corpo
e sejam
e
subespaços vetoriais de
, então
é subespaço de
se, e somente se,
(a) ( )
.
(b) ( )
.
(c) ( )
.
(d) ( ) $U \cup W=V.
(a) ( )
(b) ( )
(c) ( )
(d) ( ) $U \cup W=V.
Passo 1
O enunciado diz: em um espaço vetorial de dimensão finita
, com subespaços
e
, queremos achar em qual caso a união
é um subespaço de
. O conteúdo envolvido é o fato de que, em geral, a união de dois subespaços não é subespaço, e que o menor subespaço que contém
é justamente
.
Passo 2
Lembramos que
é o menor subespaço de
que contém
. Em outras palavras,
Passo 3
Portanto,
já será um subespaço se e somente se ele já for fechado sob soma e produto escalar, isto é, se ele coincidir com seu próprio fecho linear. Logo,
Passo 4
Entre as alternativas dadas, a que expressa exatamente a condição
é a alternativa (b).
Resposta
(b)