Seja V um espaço vetorial de dimensão de finita sobre um corpo \mathbb{K} e sejam U e W subespaços vetoriais de V, então U \cup W é subespaço de V se, e somente se,
(a) ( ) U \cup W=U \cap W.
(b) ( ) U \cup W=U+W.
(c) ( ) \operatorname{dim} U+\operatorname{dim} W=\operatorname{dim} V.
(d) ( ) $U \cup W=V.

Passo 1

O enunciado diz: em um espaço vetorial de dimensão finita V, com subespaços U e W, queremos achar em qual caso a união U\cup W é um subespaço de V. O conteúdo envolvido é o fato de que, em geral, a união de dois subespaços não é subespaço, e que o menor subespaço que contém U\cup W é justamente U+W.

Passo 2

Lembramos que
U+W = \{\,u+w \mid u\in U,\;w\in W\}
é o menor subespaço de V que contém U\cup W. Em outras palavras,
\operatorname{span}(U\cup W)=U+W.

Passo 3

Portanto, U\cup W já será um subespaço se e somente se ele for fechado sob soma e produto escalar, isto é, se ele coincidir com seu próprio fecho linear. Logo,
U\cup W\text{ é subespaço} \quad\Longleftrightarrow\quad U\cup W = \operatorname{span}(U\cup W) \quad\Longleftrightarrow\quad U\cup W = U+W.éç

Passo 4

Entre as alternativas dadas, a que expressa exatamente a condição U\cup W = U+W é a alternativa (b).

Resposta

(b)

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