Seja V um espaço vetorial real munido com um produto interno \langle, \rangle . Demonstre que se v e w são vetores quaisquer de V, então valem as relações:
\|v\|^{2}+\|w\|^{2}=\frac{1}{2}\left[\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}\right] (lei do paralelogramo).

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial real com produto interno \langle\,,\,\rangle e norma \|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}. Queremos provar a lei do paralelogramo, ou seja, para quaisquer v,w\in V vale
\|v\|^{2}+\|w\|^{2} =\frac{1}{2}\Bigl[\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}\Bigr].
Usaremos as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro \|v+w\|^{2}.
Pelo produto interno e sua bilinearidade,
\|v+w\|^{2} =\langle v+w,\,v+w\rangle =\langle v,v\rangle+2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}+2\langle v,w\rangle+\|w\|^{2}.

Passo 3

De modo análogo, calculemos \|v-w\|^{2}.
Usando que \langle v,-w\rangle=-\langle v,w\rangle e simetria,
\|v-w\|^{2} =\langle v-w,\,v-w\rangle =\langle v,v\rangle-2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle =\|v\|^{2}-2\langle v,w\rangle+\|w\|^{2}.

Passo 4

Somando as duas expressões:
\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2} =(\|v\|^{2}+2\langle v,w\rangle+\|w\|^{2}) +(\|v\|^{2}-2\langle v,w\rangle+\|w\|^{2}) =2\|v\|^{2}+2\|w\|^{2}.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos exatamente
\|v\|^{2}+\|w\|^{2} =\frac{1}{2}\Bigl[\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}\Bigr].

Resposta

\|v\|^{2}+\|w\|^{2} =\frac{1}{2}\bigl[\|v+w\|^{2}+\|v-w\|^{2}\bigr].

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