Seja
um espaço vetorial real munido com um produto interno
,
e
são vetores quaisquer de
, então valem as relações:
(lei do paralelogramo).
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial real com produto interno
e norma
. Queremos provar a lei do paralelogramo, ou seja, para quaisquer
vale
Usaremos as propriedades de bilinearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Calculemos primeiro
.
Pelo produto interno e sua bilinearidade,
Pelo produto interno e sua bilinearidade,
Passo 3
De modo análogo, calculemos
.
Usando que e simetria,
Usando que
Passo 4
Somando as duas expressões:
Dividindo ambos os lados por
obtemos exatamente