Seja 
  um espaço vetorial sobre 
  de dimensão 
 . Considere 
  também como um espaço vetorial sobre 
 . Seja então 
  uma transformação linear.
a) Mostre que 
  ou é igual a 
  ou a 
 .
b) Se 
  é outra transformação linear e 
  são elementos não nulos, linearmente dependentes em 
 , então mostre que 
 .
a) Mostre que
b) Se
Passo 1
Vamos lá! Temos um espaço vetorial 
  sobre o campo 
  com dimensão 
 . Além disso, 
  também é considerado um espaço vetorial sobre si mesmo. Temos uma transformação linear 
  e precisamos resolver duas partes:
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de , ou seja, 
 , é igual a 
  ou 
 .
b) Se  é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de 
 , mostrar que 
 .
a) Mostrar que a dimensão do núcleo de
b) Se
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear, núcleo (ou kernel), dimensão de subespaços e dependência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é o núcleo de uma transformação linear. Para uma transformação linear 
 , o núcleo 
  é o conjunto de todos os vetores em 
  que são mapeados para o elemento zero em 
 . Em outras palavras:
O núcleo é um subespaço de 
 .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o teorema do posto e da nulidade (Rank-Nullity Theorem). Esse teorema nos diz que para uma transformação linear 
 , onde 
  tem dimensão 
 , a soma da dimensão do núcleo de 
  e a dimensão da imagem de 
  (também chamada de posto de 
 ) é igual a 
 :
No nosso caso, 
 , que é um espaço vetorial de dimensão 1. Portanto, a dimensão da imagem de 
  pode ser no máximo 1.
Passo 4
Vamos considerar as possibilidades para 
 :
- Se 
é a transformação trivial, ou seja, para todo , então e .  - Se 
não é trivial, então existe pelo menos um vetor em tal que , o que implica que e .  
Passo 5
Aplicando o teorema do posto e da nulidade:
- Se 
, então:  
- Se 
, então:  
Portanto, 
  é igual a 
  ou 
 .
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b). Queremos mostrar que se 
  é outra transformação linear não nula e dependente linearmente de 
  em 
 , então 
 .
Primeiro, ser dependente linear significa que existe um escalar 
  em 
  tal que 
 .
Passo 7
Como 
 , para qualquer vetor 
 :
Então,
- 
Se
, então , o que implica que . Portanto, .  - 
Se
, então , o que implica que . Como (pois é não nula), devemos ter . Portanto, .  
Passo 8
Assim, mostramos que:
O que implica que:
Resposta
a) A dimensão do núcleo de 
  é igual a 
  ou 
 .
b) Se  é uma transformação linear não nula dependente de 
 , então 
 .
b) Se