Seja V=\mathbb{R}^{3}. Represente um elemento arbitrário v de V como soma:
de um vetor do plano z=x+y com outro do eixo y;

Passo 1

O enunciado dá que V=\mathbb{R}^3 e pede: representar um elemento arbitrário v\in V como soma de
  • um vetor que pertence ao plano dado por z=x+y;
  • mais um vetor que pertence ao eixo y.
Vou tomar um elemento arbitrário v\in\mathbb{R}^3 com coordenadas \,v=(x,y,z)\,. As informações relevantes são:
  • o plano é formado por todos os vetores cujas coordenadas satisfazem \,z=x+y;
  • o eixo y é o subespaço formado por todos os vetores de forma (0,t,0) com t\in\mathbb{R};
  • a tarefa é escrever (x,y,z) como soma de um vetor do plano e um vetor do eixo y.

Passo 2

Parametrizar os dois conjuntos envolvidos:
  • Um vetor genérico do plano \,z=x+y pode ser escrito usando dois parâmetros u,v como
(u,v,u+v),
porque a terceira coordenada é a soma das duas primeiras.
  • Um vetor genérico do eixo y tem a forma
(0,t,0),
onde t é um número real.

Passo 3

Escrever a equação da decomposição pedida usando as parametrizações:
(x,y,z) = (u,v,u+v) + (0,t,0).
Agora igualamos coordenada a coordenada para obter um sistema em u,v,t:
\begin{cases} x = u,\\[4pt] y = v + t,\\[4pt] z = u + v. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo:
  • Da primeira equação vem imediatamente \,u = x.
  • Substituindo \,u=x na terceira equação \,z = u+v obtemos
z = x + v \quad\Rightarrow\quad v = z - x.
  • Usando \,v=z-x na segunda equação \,y = v + t obtemos
t = y - v = y - (z - x) = x + y - z.

Passo 5

Portanto os parâmetros encontrados são \,u=x, \,v=z-x e \,t=x+y-z. Substituindo nas formas paramétricas:
  • o vetor do plano é
(u,v,u+v) = \bigl(x,\;z-x,\;z\bigr),
porque u+v=x+(z-x)=z;
  • o vetor do eixo y é
(0,t,0) = \bigl(0,\;x+y-z,\;0\bigr).
Verificação rápida: somando os dois vetores obtemos
\bigl(x,\;z-x,\;z\bigr) + \bigl(0,\;x+y-z,\;0\bigr) = (x,\;y,\;z),
o que confirma a decomposição.

Resposta

\displaystyle (x,y,z)=\bigl(x,\;z-x,\;z\bigr)+\bigl(0,\;x+y-z,\;0\bigr)

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