Seja
. Represente um elemento arbitrário
de
como soma:
de um vetor do plano
com outro do eixo
;
de um vetor do plano
Passo 1
O enunciado dá que
e pede: representar um elemento arbitrário
como soma de
- um vetor que pertence ao plano dado por
; - mais um vetor que pertence ao eixo
.
Vou tomar um elemento arbitrário
com coordenadas
. As informações relevantes são:
- o plano é formado por todos os vetores cujas coordenadas satisfazem
; - o eixo
é o subespaço formado por todos os vetores de forma com ; - a tarefa é escrever
como soma de um vetor do plano e um vetor do eixo .
Passo 2
Parametrizar os dois conjuntos envolvidos:
- Um vetor genérico do plano
pode ser escrito usando dois parâmetros como
porque a terceira coordenada é a soma das duas primeiras.
- Um vetor genérico do eixo
tem a forma
onde
é um número real.
Passo 3
Escrever a equação da decomposição pedida usando as parametrizações:
Agora igualamos coordenada a coordenada para obter um sistema em
:
Passo 4
Resolver o sistema passo a passo:
- Da primeira equação vem imediatamente
. - Substituindo
na terceira equação obtemos
- Usando
na segunda equação obtemos
Passo 5
Portanto os parâmetros encontrados são
,
e
. Substituindo nas formas paramétricas:
- o vetor do plano é
porque
;
- o vetor do eixo
é
Verificação rápida: somando os dois vetores obtemos
o que confirma a decomposição.