Seja V=\mathbb{R}^{2}.
(a) Ache w na reta x+y=0 e u no eixo y tais que v=(-1,4) seja escrito como soma w+u.
(b) Dê a representação de um elemento arbitrário v de V como soma w+u, como em (a).

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^{2} e pede duas coisas:
  • (a) Para o vetor dado v=\,(-1,4) encontrar vetores w e u tais que w pertença à reta \,x+y=0, u pertença ao eixo y (ou seja, ao conjunto \{(0,t)\mid t\in\mathbb{R}\}) e
v = w + u.
  • (b) Para um vetor arbitrário v\in V dar a representação v=w+u com w na reta \,x+y=0 e u no eixo y.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A reta \,x+y=0 é o conjunto de vetores cujas coordenadas satisfazem essa equação.
  • O eixo y é o conjunto de vetores de forma (0,t).
  • Em (a) o vetor específico é v=\,(-1,4).

Passo 2

Parametrizar os conjuntos envolvidos (isso é um truque padrão: escrever um vetor genérico de cada subespaço com um parâmetro).
  • Um vetor w qualquer na reta \,x+y=0 satisfaz x+y=0. Seja t a coordenada x. Então x=t e y=-t. Portanto um vetor genérico da reta é
w=(t,-t),
onde t\in\mathbb{R}.
  • Um vetor u qualquer no eixo y tem x=0. Seja s a coordenada y. Então um vetor genérico do eixo y é
u=(0,s),
onde s\in\mathbb{R}.
Explicação rápida: parametrizar significa escolher uma variável livre (aqui t ou s) e expressar as coordenadas pela condição da reta/eixo. Isso transforma a condição geométrica numa forma algébrica fácil de manipular.

Passo 3

Escrever a soma w+u usando as parametrizações e igualar ao vetor dado.
Com w=(t,-t) e u=(0,s) temos
w+u=(t,-t)+(0,s)=(t,\,-t+s).
Queremos que isso seja igual ao vetor dado v.
Para (a) tomar v=\,(-1,4) e impor
(t,\,-t+s)=(-1,4).
Igualando coordenadas obtemos um sistema simples:
\begin{cases} t = -1,\\[4pt] -t + s = 4. \end{cases}]

Passo 4

Resolver o sistema para t e s.
Da primeira equação t=-1. Substituindo na segunda,
-(-1) + s = 4 \quad\Rightarrow\quad 1 + s = 4 \quad\Rightarrow\quad s = 3.
Assim os parâmetros são t=-1 e s=3. Voltar às formas dos vetores:
w=(t,-t)=(-1,1), \qquad u=(0,s)=(0,3).
Fazer a verificação final (sempre bom checar):
w+u = (-1,1)+(0,3)=(-1,4)=v,
ou seja, está correto.
Breve observação sobre unicidade (útil na prova): se um vetor pertence simultaneamente à reta \,x+y=0 e ao eixo y, então suas coordenadas satisfazem x=0 e x+y=0, daí y=0. Logo a interseção é só o vetor nulo; assim a decomposição é única.

Passo 5

Resolver a parte (b): decomposição para um vetor arbitrário.
Seja um vetor genérico v=(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\). Repetindo o procedimento, escrevemos \[w=(t,-t),\qquad u=(0,s),
e impomos
(t,\,-t+s)=(x,y).
Igualando coordenadas:
\begin{cases} t = x,\\[4pt] -t + s = y. \end{cases}
Da primeira equação (t=x]. Substituindo na segunda:
- x + s = y \quad\Rightarrow\quad s = y + x.
Portanto a decomposição geral é
w = (x,-x),\qquad u = (0,\,x+y).
Verificação rápida:
w+u = (x,-x)+(0,x+y) = (x, -x + x + y) = (x,y) = v.]

Resposta

(a) w=(-1,1) e u=(0,3)
(b) Para um v=(x,y)\in\mathbb{R}^{2} tem-se w=(x,-x) e u=(0,x+y)

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