Seja
.
(a) Ache
na reta
e
no eixo
tais que
seja escrito como soma
.
(b) Dê a representação de um elemento arbitrário
de
como soma
, como em (a).
(a) Ache
(b) Dê a representação de um elemento arbitrário
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e pede duas coisas:
- (a) Para o vetor dado
encontrar vetores e tais que pertença à reta , pertença ao eixo (ou seja, ao conjunto ) e
- (b) Para um vetor arbitrário
dar a representação com na reta e no eixo .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A reta
é o conjunto de vetores cujas coordenadas satisfazem essa equação. - O eixo
é o conjunto de vetores de forma . - Em (a) o vetor específico é
.
Passo 2
Parametrizar os conjuntos envolvidos (isso é um truque padrão: escrever um vetor genérico de cada subespaço com um parâmetro).
- Um vetor
qualquer na reta satisfaz . Seja a coordenada . Então e . Portanto um vetor genérico da reta é
onde
.
- Um vetor
qualquer no eixo tem . Seja a coordenada . Então um vetor genérico do eixo é
onde
.
Explicação rápida: parametrizar significa escolher uma variável livre (aqui
ou
) e expressar as coordenadas pela condição da reta/eixo. Isso transforma a condição geométrica numa forma algébrica fácil de manipular.
Passo 3
Escrever a soma
usando as parametrizações e igualar ao vetor dado.
Com
e
temos
Queremos que isso seja igual ao vetor dado
.
Para (a) tomar
e impor
Igualando coordenadas obtemos um sistema simples:
Passo 4
Resolver o sistema para
e
.
Da primeira equação
. Substituindo na segunda,
Assim os parâmetros são
e
. Voltar às formas dos vetores:
Fazer a verificação final (sempre bom checar):
ou seja, está correto.
Breve observação sobre unicidade (útil na prova): se um vetor pertence simultaneamente à reta
e ao eixo
, então suas coordenadas satisfazem
e
, daí
. Logo a interseção é só o vetor nulo; assim a decomposição é única.
Passo 5
Resolver a parte (b): decomposição para um vetor arbitrário.
Seja um vetor genérico
e impomos
Igualando coordenadas:
Da primeira equação (t=x]. Substituindo na segunda:
Portanto a decomposição geral é
Verificação rápida:
Resposta
(a)
e
(b) Para um
tem-se
e