Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(2,2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(2,2,1,1) no subespaço W\subset\mathbb{R}^4 gerado pelos vetores
w_1=(1,1,0,0),\quad w_2=(1,1,1,1).
Vamos usar o produto interno usual em \mathbb{R}^4 e procurar
p = \operatorname{proj}_W v = a\,w_1 + b\,w_2
de modo que v-p seja ortogonal a w_1 e w_2.

Passo 2

Defina
p = a\,w_1 + b\,w_2 = (a+b,\;a+b,\;b,\;b).
O vetor residual é
r = v - p = \bigl(2-(a+b),\;2-(a+b),\;1-b,\;1-b\bigr).

Passo 3

Como p é projeção ortogonal, r deve satisfazer
r \cdot w_1 = 0 \quad\text{e}\quad r \cdot w_2 = 0.

Passo 4

Calcule cada produto escalar:
r\cdot w_1 =2\bigl(2-(a+b)\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+b=2.
r\cdot w_2 =2\bigl(2-(a+b)\bigr)+2(1-b)=0 \quad\Longrightarrow\quad a+2b=3.

Passo 5

Resolva o sistema
\begin{cases} a+b=2,\\\ a+2b=3, \end{cases}
que dá a=1 e b=1.

Passo 6

Substituindo em p:
\operatorname{proj}_W v =1\cdot w_1 + 1\cdot w_2 =(2,2,1,1).

Resposta

(2,2,1,1)

Exercícios relacionados