Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(1,3,1,5).

Passo 1

O enunciado pede a projeção ortogonal de v=(1,3,1,5) no subespaço
W = \mathrm{span}\{w_1,w_2\},
onde
w_1 = (1,1,0,0),\quad w_2 = (1,1,1,1).
O conteúdo é projeção em \mathbb{R}^n com produto interno padrão, usando a fórmula
\operatorname{proj}_W(v) = A\,(A^T A)^{-1}A^T v,
onde A tem colunas w_1,w_2.

Passo 2

Formamos
A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\\\ 1 & 1\\\\ 0 & 1\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix},
então o Gramiano é
A^T A =\begin{pmatrix} w_1\cdot w_1 & w_1\cdot w_2\\\ w_2\cdot w_1 & w_2\cdot w_2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2&2\\\ 2&4\end{pmatrix}.
O determinante é \det=2\cdot4-2\cdot2=4, logo
(A^T A)^{-1} =\frac1{4}\begin{pmatrix}4&-2\\\ -2&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&-\tfrac12\\\ -\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos
A^T v =\begin{pmatrix}w_1\cdot v\w_2\cdot v\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+3+0+0\\\ 1+3+1+5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\\ 10\end{pmatrix}.

Passo 4

Os coeficientes na combinação de w_1,w_2 vêm de
c=(c_1,c_2)^T=(A^T A)^{-1}A^T v =\begin{pmatrix}1&-\tfrac12\\\ -\tfrac12&\tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\\ 10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\\ 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Por fim,
\operatorname{proj}_W(v) =c_1w_1+c_2w_2 =-1\,(1,1,0,0)+3\,(1,1,1,1) =(2,2,3,3).

Resposta

\operatorname{proj}_{W}v=(2,2,3,3)

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