Seja
a) Mostre que
é um produto interno
a) Mostre que
Passo 1
Então, a gente tem um espaço vetorial
e uma operação definida por
. O objetivo aqui é mostrar que essa operação é um produto interno. Para fazer isso, vamos precisar entender o que é um produto interno e quais propriedades ele deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. Basicamente, um produto interno em um espaço vetorial é uma maneira de multiplicar dois vetores para obter um número real, e ele deve seguir certas regras:
- Comutatividade:
- Linearidade no primeiro argumento:
- Positividade:
e se e somente se for o vetor nulo.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a operação dada.
Passo 3
1. Comutatividade
Temos que mostrar que
.
Calculando ambos:
Como a multiplicação de números reais é comutativa (
, etc.), as duas expressões são iguais. Logo, a comutatividade está satisfeita.
Passo 4
2. Linearidade no primeiro argumento
Vamos mostrar que para quaisquer vetores
,
e escalares
, temos:
Calculando o lado esquerdo:
Expandindo:
Agrupando os termos com
e
:
Isso é igual a:
Portanto, a linearidade no primeiro argumento está satisfeita.
Passo 5
3. Positividade
Precisamos mostrar que
e que
se e somente se
.
Calculando
:
Sabemos que
,
e
são sempre números não negativos. Portanto, a soma
também é não negativa, ou seja,
.
Além disso,
somente se
,
e
. Logo,
se e somente se
.
Resposta
Portanto, a operação definida por
satisfaz todas as propriedades de um produto interno em
.