Seja
. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial
e um subconjunto
. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto
é um subespaço de
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais e verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
- Conter o vetor zero: O vetor
deve estar em . - Fechado sob adição: Se dois vetores estão em
, a soma deles também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em
, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto
.
Passo 3
1. Conter o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero
está em
.
Verificamos as desigualdades:
Tudo confere! Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Agora, vamos pegar dois vetores qualquer de
, por exemplo,
e
, onde
e
.
Vamos somar esses vetores:
Precisamos checar se as desigualdades ainda valem:
Será que sempre acontece? Nem sempre. Por exemplo, se
e
, então:
Aqui,
está ok, mas se escolhermos
:
Agora,
também está ok, mas se escolhermos
(que não está em
!), a soma seria
, que respeita as desigualdades. Porém, o ponto principal é que podemos encontrar vetores em
cuja soma não está em
dependendo dos valores. Por isso, não podemos garantir que a adição sempre manterá o vetor no conjunto
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor de
por um escalar qualquer
. Seja
, então
. Multiplicando por
, temos:
Precisamos que:
Isso vai depender do sinal de
. Se
for positivo, as desigualdades se mantêm. Mas se
for negativo, a direção das desigualdades inverte, ou seja, teríamos
, o que não satisfaz as condições de
.
Resposta
O conjunto
não é um subespaço de
.