Seja V=R^3. Verifique quais dos subconjuntos abaixo são subespaços de V.
W=(x, y, z) in V: x <= y <= z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o espaço vetorial V = R^3 e um subconjunto W = (x, y, z) in V : x <= y <= z. Nosso objetivo é descobrir se esse conjunto W é um subespaço de V. Para isso, vamos usar alguns conceitos de Álgebra Linear sobre subespaços vetoriais e verificar três coisas principais: se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço precisa satisfazer três condições:
  1. Conter o vetor zero: O vetor (0, 0, 0) deve estar em W.
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão em W, a soma deles também deve estar em W.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está em W, qualquer múltiplo dele por um número real também deve estar em W.
Vamos verificar cada uma dessas condições para o nosso conjunto W.

Passo 3

1. Conter o vetor zero:
Vamos ver se o vetor zero (0, 0, 0) está em W.
Verificamos as desigualdades:
0 <= 0 <= 0
Tudo confere! Então, o vetor zero está em W.

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Agora, vamos pegar dois vetores qualquer de W, por exemplo, u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2), onde x1 <= y1 <= z1 e x2 <= y2 <= z2.
Vamos somar esses vetores:
u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Precisamos checar se as desigualdades ainda valem:
x1 + x2 <= y1 + y2 <= z1 + z2
Será que sempre acontece? Nem sempre. Por exemplo, se u = (1, 2, 3) e v = (-1, 0, 1), então:
u + v = (0, 2, 4)
Aqui, 0 <= 2 <= 4 está ok, mas se escolhermos v = (-2, 1, 2):
u + v = (-1, 3, 5)
Agora, -1 <= 3 <= 5 também está ok, mas se escolhermos v = (0, 3, 2) (que não está em W!), a soma seria (1, 5, 5), que respeita as desigualdades. Porém, o ponto principal é que podemos encontrar vetores em W cuja soma não está em W dependendo dos valores. Por isso, não podemos garantir que a adição sempre manterá o vetor no conjunto W.

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar um vetor de W por um escalar qualquer k. Seja u = (x, y, z) in W, então x <= y <= z. Multiplicando por k, temos:
k cdot u = (k x, k y, k z)
Precisamos que:
k x <= k y <= k z
Isso vai depender do sinal de k. Se k for positivo, as desigualdades se mantêm. Mas se k for negativo, a direção das desigualdades inverte, ou seja, teríamos k x >= k y >= k z, o que não satisfaz as condições de W.

Resposta

O conjunto W = (x, y, z) in R^3 : x <= y <= z não é um subespaço de V = R^3.

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