Seja V(r)=Eo r, em que Eo é um valor constante, um potencial elétrico (em Volts) em uma região do espaço.
(a) Esboce o gráfico de V(r) como função da distância r (em metros). Qual a unidade de Eo e o seu significado físico?
(b) Determine o campo elétrico correspondente ao potencial elétrico V(r) por meio de E= -nabla V(r), em que nabla equiv partialpartial x widehatx+partialpartial y widehaty+partialpartial z widehatz é o operador “gradiente” em coordenadas cartesianas. Considere, ainda, que o vetor r=x widehatx+y widehaty+z widehatz, o seu módulo (magnitude) é dado por r=raizx^2+y^2+z^2 e que o vetor unitário r=rr.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V(r)=E0,r
onde E0 é constante.
Em (a) precisamos esboçar V em função de r, identificar a unidade e o significado físico de E0.
Em (b) vamos usar
E=-nabla V(r)
numa representação cartesiana, sabendo que r=raizx^2+y^2+z^2 e r=(xx+yy+zz)/r.

Passo 2

Para esboçar V(r) versus r note que é uma função linear de r que passa pela origem.
Se E0>0, o gráfico é uma reta ascendente com inclinação E0; se E0<0, é descendente.
Como V tem unidade de volt e r de metro, E0 deve ter unidade de volt por metro, ou seja,
[E0]=Vm
Físicamente, essa inclinação é exatamente a magnitude de um campo elétrico uniforme que geraria esse potencial.

Passo 3

Para calcular o gradiente use
partial rpartial x=xr, partial rpartial y=yr, partial rpartial z=zr
Assim
nabla V =nablal(E0rr) =E0,nabla r =E0l(xrx+yry+zrzr) =E0,r
Portanto
E=-nabla V=-E0,r

Resposta

(a) O gráfico de V(r) é uma reta passando pela origem, com inclinação E0.
Unidade de E0: V/m, que é a magnitude do campo elétrico uniforme.
(b)
E = -E0 , r

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