Seja \vec{v}=(2,-1,1).
(a) Determine um vetor ortogonal a \vec{v}.
(b) Determine um vetor unitário ortogonal a \vec{v}.
(c) Determine todos vetores ortogonais a \vec{v}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec v=(2,-1,1) e pede vetores em \mathbb R^3 ortogonais a ele. O conceito central é produto escalar: dois vetores \vec v e \vec w são ortogonais se
\vec v\cdot\vec w=0.
Também vamos precisar da norma de um vetor para fazer o vetor unitário:
\|\vec w\|=\sqrt{w_1^2+w_2^2+w_3^2}.

Passo 2

Para (a), basta escolher um \vec w=(x,y,z) satisfazendo
\vec v\cdot\vec w = 2x + (-1)y + 1\cdot z = 0.
Por exemplo, tome x=1 e y=2. Então
2\cdot1 + (-1)\cdot2 + 1\cdot z = 2 - 2 + z = 0
implica z=0. Logo um vetor ortogonal é
\vec w = (1,2,0).

Passo 3

Para (b), vamos normalizar \vec w=(1,2,0). Primeiro calcule a norma:
\|\vec w\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{5}.
Dividindo cada componente por \sqrt{5}, obtemos o vetor unitário
\frac{\vec w}{\|\vec w\|} = \Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}}, \tfrac{2}{\sqrt{5}}, 0\Bigr).

Passo 4

Para (c), buscamos todos \vec w=(x,y,z) em \mathbb R^3 com
2x - y + z = 0.
Isto equivale a
y = 2x + z.
Portanto
\vec w = (x,\,2x+z,\,z) = x\,(1,2,0) + z\,(0,1,1),
onde x,z\in\mathbb R. Essa é a descrição de todos os vetores ortogonais a \vec v.

Resposta

(a) (1,2,0)
(b) \bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{2}{\sqrt{5}},\,0\bigr)
(c) \{\,(x,\,2x+z,\,z)\mid x,z\in\mathbb R\}

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