Seja \vec{A}(x, y)=2 x y-i x^{2} y^{3}. Calcule:
rotacional de \vec{A}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em \mathbb{R}^2
\vec A(x,y)=2xy\,\mathbf{i}-x^2y^3\,\mathbf{j}
e pede o rotacional (curl) de \vec A. O conteúdo é o cálculo de rotacional de um campo plano, que resulta num vetor na direção \mathbf{k}.

Passo 2

Para um campo plano
\vec A(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j},
o rotacional é
\mathrm{curl}\,\vec A =\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathbf{k}.

Passo 3

Aqui temos
P(x,y)=2xy, \quad Q(x,y)=-x^2y^3.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^2y^3\bigr) =-2xy^3, \quad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy\bigr) =2x.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =-2xy^3-2x =-2x\bigl(y^3+1\bigr).

Resposta

\mathrm{curl}\,\vec A =-2x\bigl(y^3+1\bigr)\,\mathbf{k}.

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