Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, então a gente tem a equação diferencial
. Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão
, onde:
-
(já que não tem termo com ) -
Passo 3
Agora, para resolver essa equação, a gente precisa achar as raízes da equação característica. A equação característica é uma equação quadrática que a gente forma substituindo
por
. Ela fica assim:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 4
Vamos resolver a equação quadrática
:
Então, as raízes são reais e distintas:
e
.
Passo 5
Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo
e
que encontramos:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação é: