Seja w um número real positivo. Determinar a solução geral da equação y'' - w^2 y = 0

Passo 1

Beleza, então a gente tem a equação diferencial . Nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação. Ela está na forma padrão , onde:
  • (já que não tem termo com )

Passo 3

Agora, para resolver essa equação, a gente precisa achar as raízes da equação característica. A equação característica é uma equação quadrática que a gente forma substituindo por . Ela fica assim:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática :
Então, as raízes são reais e distintas: e .

Passo 5

Com as raízes reais e distintas, a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo e que encontramos:
Onde e são constantes que podem ser determinadas com base em condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação é:

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