Seja
o subespaço vetorial de
consistindo de todos os polinômios
tais que
e seja
o subespaço vetorial de
consistindo de todos os polinômios
tais que
. Encontre uma base para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me mandou um exercício de álgebra linear que envolve espaços vetoriais de polinômios. Basicamente, temos dois subespaços dentro do conjunto de polinômios de grau até 2 com coeficientes reais. O que precisamos descobrir é uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, quais polinômios estão nos dois subespaços ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que define cada subespaço e como encontrar a interseção entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço
. Ele é composto por todos os polinômios
de segundo grau tais que
. Vamos representar um polinômio geral de segundo grau:
Como
, substituindo
na expressão:
Isso significa que, para os polinômios em
, o coeficiente
deve ser zero. Portanto, os polinômios em
têm a forma:
Passo 3
Agora, vamos analisar o subespaço
. Ele é formado por todos os polinômios
de segundo grau que satisfazem
. Usando a mesma forma geral do polinômio:
Substituindo
:
Então, a condição para os polinômios em
é que a soma dos coeficientes
seja igual a zero.
Passo 4
Queremos encontrar a interseção
, ou seja, os polinômios que pertencem tanto a
quanto a
.
Sabemos que em
,
. Vamos substituir isso na condição de
:
Passo 5
Com
e
, podemos expressar os polinômios na interseção
da seguinte forma:
Aqui,
pode ser qualquer número real. Isso significa que todos os polinômios na interseção são múltiplos de
.
Resposta
Uma base para
é
.